[论文解读] "Life after death" in ordinary differential equations with a non-Lipschitz singularity

Theodore D. Drivas, Alexei A. Mailybaev|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 65被引用 9

一句话总结

本文提出一种依赖于解的重整化方法，用于唯一选择具有原点非Lipschitz奇点的常微分方程的全局解，此类方程在有限时间内发生爆破后标准唯一性失效。通过在奇点周围ν球内平滑向量场并取ν→0的极限，该方法将爆破前与爆破后的动力学映射为由吸引子控制的两个无限时间演化过程，从而在典型情况下得到与正则化细节无关的唯一解族。

ABSTRACT

We consider a class of ordinary differential equations in $d$-dimensions featuring a non-Lipschitz singularity at the origin. Solutions of such systems exist globally and are unique up until the first time they hit the origin, $t = t_b$, which we term `blowup'. However, infinitely many solutions may exist for longer times. To study continuation past blowup, we introduce physically motivated regularizations: they consist of smoothing the vector field in a $ u$--ball around the origin and then removing the regularization in the limit $ u o 0$. We show that this limit can be understood using a certain autonomous dynamical system obtained by a solution-dependent renormalization procedure. This procedure maps the pre-blowup dynamics, $t < t_b$, to the solution ending at infinitely large renormalized time. In particular, the asymptotic behavior as $t earrow t_b$ is described by an attractor. The post-blowup dynamics, $t > t_b$, is mapped to a different renormalized solution starting infinitely far in the past. Consequently, it is associated with another attractor. The $ u$-regularization establishes a relation between these two different "lives" of the renormalized system. We prove that, in some generic situations, this procedure selects a unique global solution (or a family of solutions), which does not depend on the details of the regularization. We provide concrete examples and argue that these situations are qualitatively similar to post-blowup scenarios observed in infinite-dimensional models of turbulence.

研究动机与目标

• 解决具有原点非Lipschitz奇点的常微分方程中解的非唯一性问题，此类方程的解可能在有限时间内发生爆破。
• 开发一种物理解释动机的正则化程序，用于在爆破后唯一或受限地选择解族。
• 建立一种依赖于解的重整化框架，将爆破前与爆破后的动力学映射为由吸引子控制的无限时间演化过程。
• 证明在典型情况下，所选解族与正则化细节无关，确保其鲁棒性与物理相关性。

提出的方法

• 通过在原点周围ν球内平滑向量场并取ν→0的极限，引入黏性正则化。
• 应用依赖于解的重整化，变换时间和状态变量，将有限时间爆破映射为爆破前后两个区域的无限时间动力学。
• 利用重整化相时空间中的吸引子分析爆破前动力学的渐近行为。
• 通过一个从无限遥远过去开始的独立重整化解表征爆破后动力学，该解与另一个不同的吸引子相关。
• 利用ν正则化作为连接两个重整化动力学的桥梁，以识别可能全局解的约束条件。
• 证明在典型情况下，无黏极限选择唯一解族（对于周期吸引子则为一参数族），且该解族与正则化细节无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种物理解释动机的正则化程序，可唯一选择具有非Lipschitz奇点的常微分方程在有限时间爆破后的解？
• RQ2 依赖于解的重整化程序如何将爆破前与爆破后的动力学转化为无限时间演化？
• RQ3 重整化动力学中的吸引子在约束可能全局解集合方面起什么作用？
• RQ4 所选解族是否与具体正则化细节（如平滑函数的形状）无关？
• RQ5 该框架是否可应用于无限维系统（如湍流模型）的爆破后行为建模？

主要发现

• 爆破前动力学在重整化相时空间中渐近由不动点吸引子描述，对应于自相似幂律行为。
• 爆破后动力学被映射为从无限遥远过去开始的另一组重整化解，由不同的吸引子控制。
• 在典型情况下，无黏极限选择唯一解族，且该解族与正则化细节（包括平滑函数的形状）无关。
• 对于周期吸引子，该选择产生一参数解族，对应于νn→0的不同几何子序列。
• 数值验证表明，解在无黏极限下收敛至重整化解(138)，且完整解族在相空间中形成锥面结构。
• 该方法为奇异常微分方程提供了一种通用选择机制，类似于守恒律中的熵选择，且暗示在混沌吸引子区域存在自发随机性。