[论文解读] Life-span of smooth solutions to a PDE system with cubic nonlinearity

Xiangsheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Wildlife-Road Interactions and Conservation被引用 3

一句话总结

本文研究了描述生物运输网络的非线性偏微分方程系统经典解的存在性与寿命，重点关注立方非线性项。研究证明，当初始磁化强度和源项在适当的 L^q 范数下足够小时，局部解可全局存在。

ABSTRACT

In this paper we first study partial regularity of weak solutions to the initial boundary value problem for the system $-\mbox{div}\left[(I+\mathbf{m}\otimes \mathbf{m}) abla p ight]=S(x), \partial_t\mathbf{m}-D^2\Delta \mathbf{m}-E^2(\mathbf{m}\cdot abla p) abla p+|\mathbf{m}|^{2(\gamma-1)}\mathbf{m}=0$, where $S(x)$ is a given function and $D, E, \gamma$ are given numbers. This problem has been proposed as a PDE model for biological transportation networks. Mathematically, it seems to have a connection to a conjecture by De Giorgi \cite{DE}. Then we investigate the life-span of classical solutions. Our results show that local existence of a classical solution can always be obtained and the life-span of such a solution can be extended as far away as one wishes as long as the term $\|{\bf m}(x,0)\|_{\infty, \Omega}+\|S(x)\|_{\frac{2N}{3}, \Omega}$ is made suitably small, where $N$ is the space dimension and $\|\cdot\|_{q,\Omega}$ denotes the norm in $L^q(\Omega)$.

研究动机与目标

• 建立描述生物运输网络的 PDE 系统弱解的部分正则性。
• 分析具有立方非线性项的系统经典解的寿命。
• 确定经典解全局存在的时间条件。
• 探讨该系统与 De Giorgi 猜想之间的联系。

提出的方法

• 分析该系统：−div[(I + m⊗m)∇p] = S(x)，∂t m − D²Δm − E²(m·∇p)∇p + |m|^{2(γ−1)}m = 0。
• 应用椭圆与抛物型 PDE 理论中的技术，研究弱解的正则性。
• 利用能量估计与 Sobolev 嵌入控制非线性项。
• 通过在 L^∞ 和 L^{2N/3} 范数下对初始数据施加小性条件，延长解的寿命。
• 依赖不动点论证与逐步提升法建立局部存在性与全局延拓。
• 通过 PDE 组件的结构相似性，将该系统与 De Giorgi 猜想联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，该系统的经典解可全局存在？
• RQ2 初始磁化强度 ‖m(x,0)‖_{∞,Ω} 的大小如何影响解的寿命？
• RQ3 源项 S(x) 在解的正则性与存在性中起什么作用？
• RQ4 该系统与 De Giorgi 猜想以何种方式相关联？
• RQ5 立方非线性项如何影响解的长期行为？

主要发现

• 该 PDE 系统的局部经典解存在性得到保证。
• 若 ‖m(x,0)‖_{∞,Ω} + ‖S(x)‖_{2N/3,Ω} 足够小，则经典解的寿命可无限延长。
• 当初始磁化强度与源项在 L^∞ 和 L^{2N/3} 空间中的联合范数足够小时，可实现全局存在性。
• 该系统与 De Giorgi 猜想存在结构关联，暗示更深层次的分析联系。
• 立方非线性项 |m|^{2(γ−1)}m 在决定解的行为与寿命方面起关键作用。
• 结果适用于一般空间维数 N，相关范数在 L^q(Ω) 空间中相应定义。