[论文解读] Lifshitz asymptotics for Hamiltonians monotone in the randomness

Ivan Veselić|ArXiv.org|Aug 3, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文为随机哈密顿量在随机性中单调的随机薛定谔算符的态密度积分（IDS）建立了利夫希茨渐近行为，将先前结果扩展至一类具有不连续特征函数的呼吸子型势能。通过使用施密特不等式替代坦佩尔不等式，证明了关键的利夫希茨界 $ \lim_{E\searrow E_0} \frac{\log|\log N(E)|}{\log(E-E_0)} \leq -\frac{d}{2}$，确认了在先前方法不适用的模型中，IDS 在能谱边缘附近呈现指数衰减。

ABSTRACT

In various aspects of the spectral analysis of random Schroedinger operators monotonicity with respect to the randomness plays a key role. In particular, both the continuity properties and the low energy behaviour of the integrated density of states (IDS) are much better understood if such a monotonicity is present in the model than if not. In this note we present Lifshitz-type bounds on the IDS for two classes of random potentials. One of them is a slight generalisation of a model for which a Lifshitz bound was derived in a recent joint paper with Werner Kirsch [KV]. The second one is a breather type potential which is a sum of characteristic functions of intervals. Although the second model is very simple, it seems that it cannot be treated by the methods of [KV]. The models and the proofs are motivated by well-established methods developed for so called alloy type potentials.

研究动机与目标

• 将利夫希茨渐近行为推广至随机哈密顿量在随机性中单调的随机薛定谔算符，特别是针对先前方法未覆盖的模型。
• 为由区间特征函数定义的一类呼吸子型势能，建立积分态密度（IDS）的低能行为。
• 通过采用施密特不等式替代坦佩尔不等式，克服在具有不连续势能的模型中坦佩尔不等式失效的问题，以获得谱下界。
• 证明即使势能在随机参数中缺乏利普希茨连续性，标准的利夫希茨尾指数 $-d/2$ 依然成立。

提出的方法

• 通过在区间 $\Lambda_L = [-L/2, L/2]$ 上使用纽曼边界条件进行特征值计数，对 IDS 进行有限体积近似。
• 证明依赖于施密特不等式，以从下方有界第一特征值 $E_1(H_{\omega}^L)$，取代因所选试验态的一、二阶矩相等而失效的坦佩尔不等式。
• 引入一个比较算符 $H_0^L = -\Delta - \alpha/(4L^2)$，并定义扰动项 $V_\omega = \alpha/(4L^2) + W_\omega$，以控制谱隙。
• 关键估计利用平均势能的逆 $\tilde{S}_L = L^{-1} \sum_{k \in I_L} \tilde{\lambda}_k$，其中 $\tilde{\lambda}_k = \min(\lambda_k, 1/2)$，以推导 $E_1(H_\omega^L)$ 的下界。
• 对 $\mathbb{P}(\tilde{S}_L \leq \mathbb{E}[\tilde{S}_L]/2)$ 应用大偏差估计，得到概率的指数尾界 $e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$，即第一特征值低于 $E$ 的概率。
• 通过结合有限体积特征值估计与标准 IDS 近似 $N(E) \leq L^{-1} \mathbb{E}[\text{Tr}(\chi_{]-\infty,E]}(H_\omega^L))]$，推导出最终的 IDS 上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势能在随机参数中缺乏利普希茨连续性时，是否可为在随机性中单调的随机薛定谔算符建立利夫希茨渐近行为？
• RQ2 为何坦佩尔不等式在特征函数势能情况下无法给出紧致界？应采用何种替代方法？
• RQ3 对于不连续的呼吸子型势能（如 $u(\lambda,x) = \chi_{]0,\lambda]}(x)$ 所定义者），标准的利夫希茨尾指数 $-d/2$ 是否依然成立？
• RQ4 在第一和第二阶矩相近的模型中，施密特不等式是否可有效用于推导谱下界？

主要发现

• IDS 满足利夫希茨界 $\lim_{E\searrow E_0} \frac{\log|\log N(E)|}{\log(E-E_0)} \leq -\frac{d}{2}$，确认了在能谱最小值附近的预期指数衰减。
• 对于呼吸子型势能 $W_\omega(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \chi_{]0,\lambda_k]}(x-k)$，IDS 衰减为 $N(E) \leq e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$（当 $E > 0$ 很小时），其中 $E_0 = 0$。
• 该方法成功绕过了坦佩尔不等式的失效，其失效原因在于周期基态中一、二阶矩相等。
• 施密特不等式提供了一种稳健的替代方法，可得到与 $\alpha \tilde{S}_L / (5L^2)$ 成比例的第一特征值下界，足以支持渐近分析。
• 对 $\tilde{S}_L$ 的大偏差估计给出概率界 $\mathbb{P}(\tilde{S}_L \leq \mathbb{E}[\tilde{S}_L]/2) \leq e^{-cL^d}$，在选择 $L \sim \beta E^{-1/2}$ 后，可转化为 $e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$。