[论文解读] Lift & Project Systems Performing on the Partial Vertex Cover Polytope

Konstantinos Georgiou, Edward Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 2

一句话总结

本文建立了针对 t-部分点覆盖（t-PVC）多面体上提升-投影（L&P）系统——Sherali-Adams（SA）、Lovász-Schrijver-SDP（LS+）、Sherali-Adams-SDP（SA+）以及 Lasserre-SDP（La）——近乎紧致的整数规划间隙下界。结果表明，对于任意 ε > 0，这些系统在 Θ(n) 层次的松弛解具有至少 (1−ε)n/t 的整数规划间隙；而 Lasserre 系统在第 1 层次表现出超常数间隙，在 Θ(n) 层次也表现出一般性的超常数间隙，表明当 t = O(n) 时，这些强大的 LP 和 SDP 层次结构无法对 t-PVC 问题认证常数因子近似解。

ABSTRACT

We study integrality gap (IG) lower bounds on strong LP and SDP relaxations derived by the Sherali-Adams (SA), Lovász-Schrijver-SDP (LS_+), and Sherali-Adams-SDP (SA_+) lift-and-project (L&P) systems for the t-Partial-Vertex-Cover (t-PVC) problem, a variation of the classic Vertex-Cover problem in which only t edges need to be covered. t-PVC admits a 2-approximation using various algorithmic techniques, all relying on a natural LP relaxation. Starting from this LP relaxation, our main results assert that for every epsilon>0, level-Theta(n) LPs or SDPs derived by all known L&P systems that have been used for positive algorithmic results (but the Lasserre hierarchy) have IGs at least (1-epsilon)n/t, where n is the number of vertices of the input graph. Our lower bounds are nearly tight, in that level-n relaxations, even of the weakest systems, have integrality gap 1. As lift-and-project systems have given the best algorithms known for numerous combinatorial optimization problems, our results show that restricted yet powerful models of computation derived by many L&P systems fail to witness c-approximate solutions to t-PVC for any constant c, and for t=O(n). This is one of the very few known examples of an intractable combinatorial optimization problem for which LP-based algorithms induce a constant approximation ratio, still lift-and-project LP and SDP tightenings of the same LP have unbounded IGs. As further motivation for our results, we show that the SDP that has given the best algorithm known for t-PVC has integrality gap n/t on instances that can be solved by the level-1 LP relaxation derived by the LS system. This constitutes another rare phenomenon where (even in specific instances) a static LP outperforms an SDP that has been used for the best approximation guarantee for the problem at hand. Finally, we believe our results are of independent interest as they are among the very few known integrality gap lower bounds for LP and SDP 0-1 relaxations in which not all variables possess the same semantics in the underlying combinatorial optimization problem. Most importantly, one of our main contributions is that we make explicit of a new and simple methodology of constructing solutions to LP relaxations that almost trivially satisfy constraints derived by all SDP L&P systems known to be useful for algorithmic positive results (except the La system). The latter sheds some light as to why La tightenings seem strictly stronger than LS_+ or SA_+ tightenings.

研究动机与目标

• 分析从提升-投影（L&P）系统导出的强 LP 和 SDP 松弛解在 t-部分点覆盖（t-PVC）问题上的性能。
• 在 t-PVC 多面体上，为已知的 L&P 系统（SA、LS+、SA+ 和 La）建立整数规划间隙（IG）下界。
• 研究当 t = O(n) 时，这些系统是否能够对 t-PVC 问题认证常数因子近似解，尤其考虑到通过标准 LP 松弛解 t-PVC 可实现 2-近似。
• 通过分析其整数规划间隙行为，探讨 Lasserre 层次相对于其他 L&P 系统的相对强度。
• 证明全局 0-1 赋值分布可欺骗 SA 和 LS+ 的紧化过程，但未必能欺骗 Lasserre 层次，从而揭示不同层次强度的差异。

提出的方法

• 构造满足所有已知 SDP L&P 系统（Lasserre 除外）约束的分数解，通过对称的基本行与列运算减少矩阵规模。
• 利用 Schur 补和矩阵分解，将 Lasserre 松弛矩阵表示为正定分量之和与一个负定项的组合。
• 应用 Sylvester 判别法与行列式分析，证明在层次 k 时 Lasserre 松弛矩阵的正定性，依赖于由二项式系数导出的变换矩阵的行列式。
• 利用 Cauchy-Binet 公式与行列式渐近分析，比较 det(AAT) 与 det(BBT)，证明当 p ∈ o(1/n) 时 det(AAT) 占主导地位。
• 利用涉及二项式系数的组合恒等式证明 det(W^T) = 1，从而实现变换矩阵行列式的精确计算。
• 分析在参数选择 p ∈ o(1/n) 和 p ∈ o(n^{-(k+1)/(k+2)}) 下行列式的渐近行为，建立 Lasserre 在第 1 层次与 Θ(n) 层次的超常数整数规划间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 t = O(n) 时，SA、LS+、SA+ 和 La 等强 LP 和 SDP 松弛解在 t-PVC 上是否能实现有界整数规划间隙？
• RQ2 Lasserre 层次是否能够克服其他 L&P 系统在 t-PVC 上所表现出的整数规划间隙限制？
• RQ3 为何某些全局 0-1 分布能稳健地满足 SA 和 LS+ 的紧化过程，却未必满足 Lasserre 的紧化过程？
• RQ4 在 t-PVC 背景下，Lasserre 层次与其他 L&P 系统之间是否存在根本性的强度差异？
• RQ5 L&P 松弛系统在何种最小层次 r = r(n,t) 下，能实现 t-PVC 的整数规划间隙不超过 2？

主要发现

• 对于任意 ε > 0，SA、LS+、SA+ 和 La 系统在 Θ(n) 层次的 LP 和 SDP 松弛解在 t-PVC 多面体上的整数规划间隙至少为 (1−ε)n/t。
• t-PVC 的标准 0-1 LP 松弛解的整数规划间隙至少为 n/t，且该界与文献 [15] 中的 SDP 松弛解一致。
• Lasserre 系统在第 1 层次表现出 O(√n) 的整数规划间隙，在 Θ(n) 层次则表现出超常数间隙，表明即使在高阶层次，仍无法实现对 t-PVC 的常数因子近似。
• 分析表明，全局 0-1 赋值分布可同时满足所有 SA 和 LS+ 紧化过程，暗示这些系统具有内在鲁棒性。
• 结果表明，Lasserre 层次严格强于 LS+ 和 SA+ 系统，因为相同解在相同条件下无法满足 Lasserre 的紧化过程。
• 结果表明，基于 L&P 系统的受限但强大的计算模型在 t = O(n) 时，无法识别任何常数 c 的 c-近似解。