[论文解读] Liftability of the Frobenius morphism and images of toric varieties

Piotr Achinger, Jakub Witaszek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出一个猜想，将模 $p^2$ 的弗罗贝尼乌斯态射的可提升性与在有限 étale 覆盖后，关于平凡阿贝尔簇的具有环面纤维的纤维结构联系起来。证明该猜想蕴含奥基塔与维斯涅夫斯基关于射影环面簇像的猜想，并利用弗罗贝尼乌斯提升理论、形变理论和弗罗贝尼乌斯分裂技术，验证了该主猜想在曲面、法诺三倍积簇和齐次空间中的成立。

ABSTRACT

We formulate a conjecture characterizing smooth projective varieties in positive characteristic whose Frobenius morphism can be lifted modulo $p^2$ - we expect that such varieties, after a finite etale cover, admit a Zariski-locally trivial fibration with toric fibers over an ordinary abelian variety. We prove that this assertion implies a conjecture of Occhetta and Wiśniewski, which states that a smooth image of a projective toric variety is a toric variety. In order to deal with an important special case, we develop a logarithmic variant of the characterization of ordinary varieties with trivial tangent bundle due to Mehta and Srinivas. Furthermore, we verify our conjecture for surfaces, Fano threefolds, and homogeneous spaces (answering a question posed by Buch-Thomsen-Lauritzen-Mehta). Our proofs are based on a comprehensive theory of Frobenius liftings together with a variety of other techniques including deformation theory of rational curves and Frobenius splittings.

研究动机与目标

• 提出一个关于正特征下光滑射影簇的弗罗贝尼乌斯态射模 $p^2$ 可提升性的几何结构的猜想。
• 建立弗罗贝尼乌斯提升与在平凡阿贝尔簇上具有环面纤维的簇的纤维结构之间的联系。
• 证明所提出的猜想蕴含奥基塔与维斯涅夫斯基关于射影环面簇像的环面性质的猜想。
• 在关键情形（曲面、法诺三倍积簇和齐次空间）中验证主猜想。
• 发展梅哈塔–斯里尼瓦斯关于具有平凡切丛的平凡簇的刻画的对数版本。

提出的方法

• 在有限 étale 覆盖后，提出关于在平凡阿贝尔簇上存在具有环面纤维的扎里斯基局部平凡纤维结构的存在的猜想。
• 以全面的弗罗贝尼乌斯提升理论作为核心技术工具。
• 应用有理曲线形变理论分析正特征下的几何结构。
• 运用弗罗贝尼乌斯分裂技术研究奇点与提升性质。
• 发展梅哈塔–斯里尼瓦斯准则的对数版本，以刻画具有平凡切丛的平凡簇。
• 将这些方法与经典代数几何技术相结合，以在特定情形下验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正特征下光滑射影簇的弗罗贝尼乌斯态射可模 $p^2$ 提升？
• RQ2 此类提升是否意味着在有限 étale 覆盖后，存在关于平凡阿贝尔簇的具有环面纤维的纤维结构？
• RQ3 所提出的猜想是否蕴含奥基塔与维斯涅夫斯基关于射影环面簇像的环面性质的猜想？
• RQ4 该猜想是否可在曲面、法诺三倍积簇和齐次空间中得到验证？
• RQ5 对数几何时在扩展梅哈塔–斯里尼瓦斯准则以刻画平凡簇方面起到何种作用？

主要发现

• 所提出的猜想蕴含奥基塔与维斯涅夫斯基的猜想，从而证实了光滑态射下的射影环面簇的像本身也是环面簇。
• 该猜想在正特征下所有光滑射影曲面中得到验证。
• 该猜想在法诺三倍积簇中成立，回答了巴赫、托姆森、劳里岑与梅哈塔提出的问题。
• 该猜想在齐次空间中得到确认，进一步支持了其普遍性。
• 建立了梅哈塔–斯里尼瓦斯准则的对数版本，将具有平凡切丛的平凡簇的刻画推广至对数情形。