[论文解读] Lifting for Simplicity: Concise Descriptions of Convex Sets

Hamza Fawzi, João Gouveia+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2020

Photochromic and Fluorescence Chemistry被引用 4

一句话总结

本文提出了一种统一框架，通过凸集松弛算子的结构化分解来构建和分析其提升（lifts），重点研究基于平方和（sums of squares）的定锥提升（spectrahedral lifts）。该研究证明，低复杂度提升（多面体或定锥）的存在性等价于特定的因子分解性质，并提供了利用极面结构和代数障碍来构造此类提升或证明其不存在性的工具。

ABSTRACT

This paper presents a selected tour through the theory and applications of lifts of convex sets. A lift of a convex set is a higher-dimensional convex set that projects onto the original set. Many convex sets have lifts that are dramatically simpler to describe than the original set. Finding such simple lifts has significant algorithmic implications, particularly for optimization problems. We consider both the classical case of polyhedral lifts, described by linear inequalities, as well as spectrahedral lifts, defined by linear matrix inequalities, with a focus on recent developments related to spectrahedral lifts. Given a convex set, ideally we would either like to find a (low-complexity) polyhedral or spectrahedral lift, or find an obstruction proving that no such lift is possible. To this end, we explain the connection between the existence of lifts of a convex set and certain structured factorizations of its associated slack operator. Based on this characterization, we describe a uniform approach, via sums of squares, to the construction of spectrahedral lifts of convex sets and illustrate the method on several families of examples. Finally, we discuss two flavors of obstruction to the existence of lifts: one related to facial structure, and the other related to algebraic properties of the set in question. Rather than being exhaustive, our aim is to illustrate the richness of the area. We touch on a range of different topics related to the existence of lifts, and present many examples of lifts from different areas of mathematics and its applications.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构建凸集的简洁提升，特别是定锥提升，以提高优化中的算法效率。
• 建立提升存在性与凸集相关松弛算子结构化因子分解之间的联系。
• 提供构造性方法——尤其是通过平方和——来生成凸集的定锥提升。
• 识别并分析基于极面结构和集合代数性质的提升存在性障碍。
• 统一并拓展现有关于提升的研究成果，涵盖多面体和定锥提升，并适用于多样化的数学与应用背景。

提出的方法

• 将凸集的松弛算子作为核心对象，其非负元素表示极点到支撑超平面的距离。
• 通过松弛矩阵的非负因子分解刻画多面体提升的存在性，推广Yannakakis定理。
• 通过松弛算子的正定（psd）因子分解刻画定锥提升的存在性，与平方和表示建立联系。
• 利用多项式平方和分解构造定锥提升，特别适用于由多项式或代数约束定义的凸集。
• 应用分层构造（如theta体）通过定锥提升近似代数集的凸包。
• 利用极面结构分析和多项式理想中的次数界推导小提升不存在的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个凸集能拥有显著简化于其原始描述的定锥提升？
• RQ2 凸集的何种结构性质决定了其是否能拥有低复杂度的多面体或定锥提升？
• RQ3 如何系统性地应用平方和方法来构建凸集的定锥提升？
• RQ4 哪些代数或几何障碍会阻止某些凸集存在小规模提升？
• RQ5 凸集的极面结构与其可能提升的复杂度之间有何关系？

主要发现

• 当且仅当其松弛算子存在正定因子分解时，凸集才存在定锥提升，提供了精确的代数判别准则。
• 可通过多项式平方和分解系统性地构造定锥提升，尤其适用于由多项式不等式定义的凸集。
• 基于极面结构存在提升障碍：例如，具有过多面或复杂面格的集合可能无法实现小规模提升。
• 代数障碍源于多项式理想中的次数界；例如，Scheiderer的结果表明，某些非负多项式无法表示为平方和，意味着不存在定锥提升。
• 判断凸集是否存在提升的复杂度为NP难，这通过非负秩与正定秩计算的归约得到证明。
• 该理论统一了多种实例——从链多面体、Horn锥到凸多项式上境图——展示了基于提升表示的广泛应用性。