[论文解读] Lifting from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree

Shuichi Hayashida|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文构建了一个从1度全模形式中半整权模形式的特征形式对到半整权且偶数度的Siegel模形式的提升，推广了Miyawaki-Ikeda提升。关键创新在于引入了广义Cohen-Eisenstein级数的广义Maass关系，确保所构造的模形式为特征形式且其L-函数可计算，前提是其不恒为零——该条件已通过多个(n,k)对的数值验证。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show lifts from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree under the assumption that the constructed Siegel modular form is not identically zero. The key of the proof is to introduce a certain generalization of the Maass relation for Siegel modular forms of half-integral weight of general degree.

研究动机与目标

• 将Ibukiyama-Hayashida关于从1度椭圆模形式对到半整权Siegel模形式的提升猜想，推广至超过度数2的情形。
• 为偶数度Siegel模形式建立Miyawaki-Ikeda提升的半整权类比。
• 在所构造的Siegel模形式不恒为零的假设下，证明其为特征形式。
• 计算所提升形式的L-函数，并将其与输入模形式的L-函数关联。
• 通过特定(n,k)对的显式傅里叶系数计算，验证提升的非零性。

提出的方法

• 该提升由三个映射的复合构成：Ikeda提升、傅里叶-Jacobi展开映射，以及Jacobi形式（指标为1）与半整权Siegel模形式之间的同构。
• 引入广义Cohen-Eisenstein级数（半整权）的广义Maass关系作为核心技术工具，以控制傅里叶-Jacobi系数。
• 证明依赖于广义Maass关系，以表明当非零时，所提升形式是Hecke算子下的特征形式。
• 通过输入形式的p进参数，利用修正的Zhuravlev L-函数构造方法，计算所提升形式的L-函数。
• 利用计算机代数系统和Katsurada的Siegel级数公式，计算中间Siegel模形式的傅里叶系数，对非零性进行数值验证。
• 通过检查特定情形（如(n,k) = (2,10)）下的非零傅里叶系数，验证构造的有效性，使用涉及内积与基展开的显式系数恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造并证明从1度半整权模形式中特征形式对到半整权且偶数度Siegel模形式的提升，使其结果为特征形式？
• RQ2 何种广义关系可确保所提升Siegel模形式的特征形式性质？
• RQ3 所提升形式的L-函数如何与输入模形式的L-函数关联？
• RQ4 在何种条件下所构造的Siegel模形式不恒为零？
• RQ5 能否通过计算验证特定(n,k)对下提升的非零性？

主要发现

• 从特征形式对h ∈ S_{k−n+1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4)) 和 g ∈ S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4)) 构造的提升产生了一个非零特征形式F_{h,g} ∈ S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(2n−2)}(4))，其中k为偶数且n非负。
• 所提升形式的L-函数满足L(s, F_{h,g}) = L(s,g) × ∏_{i=1}^{2n−3} L(s−i,h)，明确将其与输入形式的L-函数关联。
• F_{h,g}的p进参数为{β_p^±, p^{n−2}α_p^±, ..., p^{−n+2}α_p^±}，确认了其函数方程结构。
• 对于(n,k) = (2,10)，形式F_{h,g}非零，表现为非零傅里叶系数K(M,m) = -968，其中M = [[3,1],[1,3]]，m=3。
• 通过数值方法确认了另外20组(n,k)对的非零性，包括(2,12)至(2,18)，(3,12)至(3,20)，(4,10)至(4,20)，(5,14)至(5,20)，以及(6,12)至(6,20)。
• 广义Cohen-Eisenstein级数的广义Maass关系（定理7.6）已证明，并作为支撑特征形式性质与L-函数计算的基础技术结果。