[论文解读] Lifting Group Actions and Nonnegative Curvature

Karsten Grove, Wolfgang Ziller|ArXiv.org|Jan 5, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了在非负曲率的单连通4-流形上，哪些向量丛允许具有非负截面曲率的完备度量——具体而言，针对 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$、$\mathbb{S}^{2}\times\mathbb{S}^{2}$ 和 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$。通过利用同伦一性群作用在主丛上构造不变度量，并分析群作用的提升条件，作者证明：所有第二Stiefel-Whitney类 $w_2$ 非平凡的向量丛在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 上均允许此类度量；对于满足 $w_2=0$ 且 $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ 的三维丛，有一半允许此类度量，且当纤维维数至少为5时，所有此类丛均允许非负曲率。

ABSTRACT

We show that all vector bundles over CP^2 which are not spin admit a complete metric with nonnegative sectional curvature. In the proof we construct a nonnegatively curved metric on the corresponding principle bundle by showing that it admits a cohomogeneity one action with singular orbits of codimension 2. This is closely related to the problem of when an action of G on the base of an L principle bundle lifts to the total space, such that the lift commutes with L. We solve this lifting problem for all SO(k) principle bundles over a 4-dimensional simply connected base B with G a cohomogeneity one action on B.

研究动机与目标

• 确定哪些具有非负曲率的单连通4-流形上的向量丛允许具有非负截面曲率的完备度量。
• 解决一个开放问题：对于具有有限基本群的紧致非负曲率流形上的向量丛，灵魂定理的逆命题是否成立。
• 将同伦一性方法扩展至 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$、$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$ 和 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上的主丛，以构造非负曲率度量。
• 分类哪些主 $\operatorname{SO}(k)$-丛在这些流形上可实现同伦一性群作用的提升，从而实现保持曲率的构造。

提出的方法

• 通过具有余维数为二的奇异轨道的同伦一性群作用，在主丛上构造非负曲率的不变度量。
• 利用黎曼子mersions的曲率增加性质，将主丛上的非负曲率传递到相应的向量丛上。
• 利用Mayer-Vietoris序列和特征类分析从底流形到主丛的 $\operatorname{SO}(3)$-作用的提升。
• 通过Mayer-Vietoris序列中的同调与上同调计算，计算第一Pontryagin类 $p_1$ 和第二Stiefel-Whitney类 $w_2$。
• 利用特征类施加的拓扑障碍，确定哪些丛允许提升，从而确定非负曲率度量的存在性。
• 利用已知的群作用可交换提升结果，并通过 $\operatorname{SU}(2)$ 和 $\operatorname{SO}(k)$ 的表示理论对丛进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些向量丛在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上允许具有非负曲率的完备度量？
• RQ2 在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上，同伦一性 $\operatorname{SO}(3)$-作用在何种条件下可提升至主 $\operatorname{SO}(k)$-丛？
• RQ3 特征类（尤其是 $w_2$ 和 $p_1$）在决定相关丛上非负曲率度量存在性方面起什么作用？
• RQ4 纤维维数如何影响此类度量的存在性，特别是当 $k \geq 5$ 时？
• RQ5 是否存在针对 $w_2 = 0$ 的单连通4-流形上向量丛的非负曲率度量存在的拓扑障碍？

主要发现

• 所有第二Stiefel-Whitney类 $w_2$ 非平凡的向量丛在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上均允许具有非负截面曲率的完备度量。
• 对于满足 $w_2 = 0$ 且 $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ 的三维向量丛在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上，此类度量存在；当纤维维数至少为5时，所有此类丛均允许非负曲率。
• 对于复秩2的向量丛在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上，若第一陈类 $c_1$ 为奇数，或 $c_1$ 为偶数且判别式 $\Delta = c_1^2 - 4c_2$ 满足 $\Delta \equiv 0 \pmod{8}$，则存在非负曲率度量。
• $\operatorname{SU}(2)$ 在 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上具有不动点的行动，当且仅当 $p_1 = q^2$ 或 $p_1 = \pm(q^2 - 4)$ 对某个整数 $q$ 成立时，可提升至主 $\operatorname{SO}(3)$-丛，如引理5.6所示。
• 对于 $k=3$ 或 $k \geq 5$，在 $\mathbb{S}^4$ 上的主 $\operatorname{SO}(k)$-丛的第一Pontryagin类为 $p_1 = \pm(\sum m_i^- - \sum m_i^+)$，且可通过反向对合变换改变符号。
• $\mathbb{S}^4$ 上 $k=4$ 丛的提升分类依赖于 $\operatorname{SO}(4)$ 的外自同构群，平凡丛与切丛分别来自不同的表示。