[论文解读] Lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文在伴随表示的重数为1的条件下以及适当的局部分歧性假设下，建立了在完全实数域上的一般半单群中，不可约奇性模 $p$ 伽罗瓦表示的几何 $p$-进提升的存在性。当 $p$ 足够大时，证明了此类提升的存在性，同时在无这些假设下也提供了非几何提升，将塞尔的模性猜想推广至高秩群。

ABSTRACT

We study irreducible mod p representations, valued in general reductive groups, of the Galois group of a number field. When the number field is totally real, we show that odd representations satisfying local ramification hypotheses and a certain multiplicity-free condition on the adjoint representation admit geometric lifts. For general number fields, we show without any oddness or multiplicity condition that the representation admits a p-adic lift if it does everywhere locally.

研究动机与目标

• 解决不可约模 $p$ 伽罗瓦表示进入半单群是否允许几何 $p$-进提升这一基本问题。
• 将塞尔的模性猜想从 $\mathrm{GL}_2$ 推广至完全实数域上的高秩半单群。
• 在伴随表示的重数为1条件及局部分歧性约束下建立提升定理。
• 提供几何与非几何提升结果，将 $\mathrm{GL}_2$ 情况下的已知结果推广至一般半单群。
• 探讨奇性在一般半单群背景下的作用，推广塞尔原始的奇性定义。

提出的方法

• 通过在伴随李代数上复共轭作用的固定点维数，将塞尔的奇性条件推广至半单群。
• 利用变形理论与局部条件，在分歧素数处构造极小变形，确保与福尔顿-梅佐尔几何性条件相容。
• 应用潜在自守性定理与模形式提升技巧，并将其适配至一般半单群。
• 运用特征标理论与 ATLAS 数据，验证某些有限群（$A_6$，$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$）在例外群李代数上作为奇性对合的作用。
• 构造 $F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$ 中残量表示的显式例子，其像为 $A_6$ 与 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$，满足主提升定理的所有假设，唯独不满足重数为1条件。
• 利用旗流形理论与 Weyl 群作用，通过伴随作用的不变量刻画奇性表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完全实数域上半单群中的不可约模 $p$ 伽罗瓦表示允许几何 $p$-进提升？
• RQ2 塞尔的奇性概念如何推广至 $\mathrm{GL}_2$ 之外的半单群？
• RQ3 伴随表示的重数为1条件在确保几何提升中起何种作用？
• RQ4 能否在不假设奇性或重数为1的条件下构造非几何提升？
• RQ5 已知的模形式提升定理在伴随表示中存在非平凡重数时，其失效程度如何？

主要发现

• 当 $p$ 足够大（依赖于群与数域）时，任何满足其伴随表示重数为1条件的奇性残量表示，均允许几何 $p$-进提升。
• 本文构造了 $F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$ 中残量表示的显式例子，其像分别为 $A_6$ 与 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$，满足主提升定理的所有假设，唯独不满足重数为1条件。
• 这些例子表明，重数为1条件对于应用 [BLGGT14] 中的潜在自守性定理是必要的，因为其形式特征标的重数大于一。
• 在 $A_6$ 与 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$ 作用下，$F_4$ 的伴随表示的分解方式通过李代数上的迹计算确认了奇性条件。
• 复共轭在 $F_4$ 的李代数上的作用具有维数等于旗流形维数的不变量，从而确认了这些群的奇性条件。
• 推论 4.10 保证了即使几何提升失败，仍存在像足够大的非几何提升，展示了该提升框架的鲁棒性。