[论文解读] Lifting of curves with automorphisms

Andrew Obus|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文综述了在正特征下具有群作用的代数曲线的提升问题，重点关注此类曲线及其自同构何时可被提升到特征零。它综合运用了伽罗瓦理论、分歧理论与形变理论的技术，关键成果包括对Oort猜想的解决，以及通过高阶分歧群和Hasse-Arf定理对障碍的刻画，尤其在野分歧情形下。

ABSTRACT

The lifting problem for curves with automorphisms asks whether we can lift a smooth projective characteristic p curve with a group G of automorphisms to characteristic zero. This was solved by Grothendieck when G acts with prime-to-p stabilizers, and there has been much progress over the last few decades in the wild case. We survey the techniques and obstructions for this lifting problem, aiming at a reader whose background is limited to scheme theory at the level of Hartshorne's book. Throughout, we include numerous examples and clarifying remarks. We also provide a list of open questions.

研究动机与目标

• 理解在正特征下，具有有限自同构群的光滑射影曲线在何种条件下可被提升到特征零。
• 分析野分歧在阻碍或促进此类提升中的作用。
• 综述提升问题的最新进展，特别是当 $ p $ 整除自同构群阶时的野情形。
• 通过分歧滤子和Hasse-Arf定理，阐明局部与整体提升障碍之间的联系。
• 为具备基本概形理论背景的研究人员提供全面且易懂的综述，包括开放问题。

提出的方法

• 以Grothendieck关于具有与 $ p $ 互素的稳定子的提升的奠基性结果为起点。
• 应用高阶分歧群理论（包括下标与上标编号）分析局部提升障碍。
• 运用Riemann-Hurwitz公式与分歧公式 $ \delta = \sum_{i=0}^\infty (|G_i| - 1) $，关联野分歧下亏格的变化。
• 以Green-Matignon等人证明的Oort猜想为核心结果：若上跳至少为1，则每个 $ \mathbb{Z}/p $-扩张均可提升。
• 应用形变理论技术及Witt向量 $ W(k) $ 的使用，从局部数据构造提升。
• 依赖Hasse-Arf定理，限制阿贝尔扩张中可能的上跳，尤其在 $ p $-扩张背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $ p $ 下，具有有限群作用的曲线在何种条件下可被提升到特征零？
• RQ2 当群作用具有野分歧（即 $ p $ 整除群阶）时，提升的障碍是什么？
• RQ3 伽罗瓦扩张中的上、下分歧滤子如何与提升问题相关？
• RQ4 每个局部域上的 $ \mathbb{Z}/p $-扩张是否都可被提升到特征零？上跳在此过程中起什么作用？
• RQ5 曲线的亏格与正特征下的分歧数据之间有何关系？这如何影响提升？

主要发现

• 当自同构群作用的稳定子与 $ p $ 互素时，提升问题已被完全解决，此结果由Grothendieck证明。
• Oort猜想得到证实：局部域上的每个 $ \mathbb{Z}/p $-扩张可被提升到特征零，当且仅当其上跳至少为1。
• 对于阿贝尔 $ p $-扩张，上跳为有理数，且Hasse-Arf定理确保其为整数。
• 由于分歧公式 $ \delta = \sum_{i=0}^\infty (|G_i| - 1) $，曲线的亏格在野分歧下会增加，当 $ G $ 非平凡且 $ p $-整除时，该值严格大于 $ |G| - 1 $。
• 在特征 $ p $ 下，存在无穷多个线性无关的 $ \mathbb{Z}/p $-覆盖 $ \mathbb{A}^1 $，表明其平展基本群不是有限生成的。
• 本文列出了一系列开放问题，包括对非交换群 $ G $ 的可提升 $ G $-覆盖的完整分类。