[论文解读] Lifting of $\mathbb{RP}^{d-1}$-valued maps in $BV$ and applications to uniaxial $Q$-tensors. With an appendix on an intrinsic $BV$-energy for manifold-valued maps

Radu Ignat, Xavier Lamy|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了实射影空间 $\mathbb{RP}^{d-1}$ 值映射的有界变差（BV）提升的存在性，证明了任意 $u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ 均可提升为满足最优 BV 估计的 $n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$。该结果被应用于液晶理论中的单轴 $Q$-张量，通过一种新颖的逼近方案，推导出流形值映射的内在 $BV$-能量公式。

ABSTRACT

We prove that a $BV$ map with values into the projective space $\mathbb{RP}^{d-1}$ has a $BV$ lifting with values into the unit sphere $\mathbb S^{d-1}$ that satisfies an optimal $BV$-estimate. As an application to liquid crystals, this result is also stated for $BV$ maps with values into the set of uniaxial $Q$-tensors. In order to quantify $BV$ liftings, we prove an explicit formula for an intrinsic $BV$-energy of maps with values into any compact smooth manifold.

研究动机与目标

• 解决 $\mathbb{RP}^{d-1}$ 值 $BV$ 映射的提升问题，其正则性受限于跳跃和奇点的存在。
• 为这类映射向球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ 的提升建立最优 $BV$-估计，确保对总变差的控制。
• 通过在特定物理背景（液晶中的单轴 $Q$-张量）下应用提升结果，将理论扩展至该情形。
• 定义并计算流形值映射的内在 $BV$-能量，独立于等距嵌入。
• 利用目标流形的内在黎曼结构，提供一种几何上一致的跳跃代价度量。

提出的方法

• 通过使用截断函数和旋转场的局部逼近方案，构造 $u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ 到 $n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$ 的提升。
• 采用具有径向核 $\rho_\varepsilon$ 的光滑化过程，对提升进行正则化，确保在 $L^1$ 中收敛并控制总变差。
• 引入一族测度 $m_\omega^\varepsilon$，用于量化提升过程中跳跃部分的贡献，其依赖于 $u(x)$ 与 $u(x - r\omega)$ 之间的距离。
• 利用 Fatou 引理和对方向 $\omega \in \mathbb{S}^{N-1}$ 的极限论证，取极限并控制提升的总变差。
• 通过分析 $m_\omega^\varepsilon$ 测度的极限，推导出内在 $BV$-能量公式，得到一个几何上有意义的跳跃代价，且不依赖于嵌入。
• 将该理论应用于单轴 $Q$-张量，通过将它们识别为 $\mathbb{RP}^{d-1}$-值映射，从而继承提升和能量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $BV$ 映射 $\mathbb{RP}^{d-1}$ 值是否都能被提升为 $\mathbb{S}^{d-1}$ 值的 $BV$ 映射，同时保持最优正则性界？
• RQ2 流形值映射的内在 $BV$-能量是什么？如何在不依赖等距嵌入的情况下计算它？
• RQ3 在提升过程中，变差的跳跃部分如何表现？能否利用目标流形上的几何距离对其进行量化？
• RQ4 该提升结果是否可推广至建模为 $\mathbb{RP}^{d-1}$-值场的液晶中的单轴 $Q$-张量？
• RQ5 能否为取值于紧致黎曼流形的 $BV$ 映射定义一种几何上一致、且与嵌入无关的变差度量？

主要发现

• 每个 $u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ 均存在一个提升 $n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$，使得 $n$ 的总变差被有界于 $u$ 的总变差的常数倍，且该常数仅依赖于 $d$。
• 该提升满足最优 $BV$-估计，意味着对总变差的界是紧致的，一般情况下无法改进。
• 推导出任意紧致光滑流形值映射的内在 $BV$-能量的显式公式，该公式基于测地距离和方向平均过程。
• 跳跃部分的变差被证明依赖于跳跃集两侧值之间的测地距离，而非在环境空间中的欧氏距离。
• 对于单轴 $Q$-张量，该提升结果意味着在取向选择下 $BV$-正则性得以保持，这对液晶缺陷的建模至关重要。
• 内在 $BV$-能量独立于目标流形的等距嵌入，这一点通过扩散部分变差的不变性以及跳跃代价的几何表述得到证明。