[论文解读] Lifting systems of Galois representations associated to abelian varieties

Rutger Noot|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了与阿贝尔簇相关的伽罗瓦表示的'弱几何提升'，重点在于通过导出群的同源性实现提升，同时在福尔滕-梅祖尔的意义下保持几何性。证明了对于任意数域上的阿贝尔簇，经过有限扩张后，存在一个导出群为单连通的群上的弱几何提升，从而在某些情况下证实了福尔滕-梅祖尔猜想，并建立了当提升无法由阿贝尔簇实现时的部分结果。

ABSTRACT

This paper treats what we call `weak geometric liftings' of Galois representations associated to abelian varieties. This notion can be seen as a generalization of the idea of lifting a Galois representation along an isogeny of algebraic groups. The weaker notion only takes into account an isogeny of the derived groups and disregards the centres of the groups in question. The weakly lifted representations are required to be geometric in the sense of a conjecture of Fontaine and Mazur. The conjecture in question states that any irreducible geometric representation is a twist of a subquotient of an étale cohomology group of an algebraic variety over a number field. It is shown that a Galois representation associated to an abelian variety admits a weak geometric lift to a group with simply connected derived group. In certain cases, such a weak geometric lift is itself associated to an abelian variety. This means that the conjecture of Fontaine and Mazur is confirmed for these representations. In other cases, one may find a lift which can not be found back in the etale cohomology of any abelian variety. The Fontaine--Mazur conjecture remains open for these representations. Nevertheless, certain consequences of the conjecture can be established.

研究动机与目标

• 研究通过引入较弱的提升条件来验证与阿贝尔簇相关的伽罗瓦表示的福尔滕-梅祖尔猜想。
• 定义并研究'弱几何提升'，其重点在于导出群的同源性而非完整的代数群。
• 确定此类提升何时可由代数簇（特别是阿贝尔簇）的平展上同调实现。
• 在提升无法通过阿贝尔簇实现的情况下，建立福尔滕-梅祖尔猜想的部分结果。
• 在群同源的背景下，通过几何共轭类和上同调障碍分析伽罗瓦表示的结构。

提出的方法

• 将弱几何提升定义为通过导出群同源性分解的表示，忽略代数群的中心。
• 利用阿贝尔簇 $A$ 的芒福德-泰特群 $G_A$ 构造基本伽罗瓦表示 $\rho_{A,p}$。
• 构造一个到群 $\widetilde{G}$ 的提升 $\tilde{\rho}_p$，使得 $\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$ 是 $G_A^{\mathrm{der}}$ 的万有覆盖。
• 应用切波塔雷夫密度定理和上同调技巧，分析弗罗贝尼乌斯元素在共轭类中的像。
• 利用伽罗瓦上同调和局部-整体原理，验证几何共轭类映射纤维中存在有理点。
• 借助扭从（torsor）和有理点结果，证明某些在 $\mathrm{Cl}(G^\prime)$ 上的纤维包含 $\mathbf{Q}$-有理点，从而确保提升的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个与阿贝尔簇相关的伽罗瓦表示是否都能被弱几何地提升到导出群为单连通的群？
• RQ2 在何种条件下，此类弱几何提升可实现为某个阿贝尔簇的平展上同调的子商表示？
• RQ3 在提升无法由阿贝尔簇实现的情况下，福尔滕-梅祖尔猜想在多大程度上可被验证？
• RQ4 上同调障碍和局部条件如何影响提升群中存在有理共轭类？
• RQ5 几何共轭类及其纤维在从局部数据构造整体提升的过程中起什么作用？

主要发现

• 对于任意数域 $F$ 上的阿贝尔簇 $A$，存在一个有限扩张 $F'$ 和一个弱几何提升 $\tilde{\rho}_p$，使其取值于群 $\widetilde{G}$，且 $\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$ 为单连通。
• 每个弱几何提升都被一个导出群为单连通的提升所控制，从而允许进行规范归一化。
• 在某些情况下，弱几何提升可由阿贝尔簇的平展上同调实现，从而确认了这些表示的福尔滕-梅祖尔猜想。
• 在其他情况下，该提升无法实现为任何阿贝尔簇的平展上同调的子商表示，因此这些情况下的完整猜想仍为开放。
• 通过上同调扭从论证和局部-整体原理，确立了共轭类映射纤维中存在 $\mathbf{Q}$-有理点。
• 切波塔雷夫密度定理确保了弗罗贝尼乌斯像落在某个坏集合之外的素点集合具有狄利克雷密度零，从而支持了整体提升的构造。