[论文解读] Lifting to Parity Decision Trees Via Stifling

Arkadev Chattopadhyay, Nikhil S. Mande+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文引入了通信复杂性中常数大小构件的“抑制”（stifling）概念，证明了任意 k-抑制构件均可实现从确定性决策树复杂度到奇偶决策树（PDT）大小复杂度的提升。关键结果表明，对于 k-抑制构件 g，有 PDTsize(f ◦ g) ≥ 2^{DT(f)} · k，从而首次提供了系统化方法，将解析宽度下界提升至常数宽度 CNF 公式的 Res(⊕) 证明大小下界。

ABSTRACT

We show that the deterministic decision tree complexity of a (partial) function or relation f lifts to the deterministic parity decision tree (PDT) size complexity of the composed function/relation f∘g as long as the gadget g satisfies a property that we call stifling. We observe that several simple gadgets of constant size, like Indexing on 3 input bits, Inner Product on 4 input bits, Majority on 3 input bits and random functions, satisfy this property. It can be shown that existing randomized communication lifting theorems ([Göös, Pitassi, Watson. SICOMP'20], [Chattopadhyay et al. SICOMP'21]) imply PDT-size lifting. However there are two shortcomings of this approach: first they lift randomized decision tree complexity of f, which could be exponentially smaller than its deterministic counterpart when either f is a partial function or even a total search problem. Second, the size of the gadgets in such lifting theorems are as large as logarithmic in the size of the input to f. Reducing the gadget size to a constant is an important open problem at the frontier of current research. Our result shows that even a random constant-size gadget does enable lifting to PDT size. Further, it also yields the first systematic way of turning lower bounds on the width of tree-like resolution proofs of the unsatisfiability of constant-width CNF formulas to lower bounds on the size of tree-like proofs in the resolution with parity system, i.e., Res(⊕), of the unsatisfiability of closely related constant-width CNF formulas.

研究动机与目标

• 通过小尺寸、常数大小的构件，建立从确定性决策树复杂度到奇偶决策树大小复杂度的提升定理。
• 解决常数大小构件实现提升的开放问题，克服以往随机提升定理所需对数大小构件的局限性。
• 为将解析证明宽度的下界系统性地转化为常数宽度 CNF 公式在 Res(⊕) 证明系统中的证明大小下界，提供一种系统方法。
• 证明随机常数大小函数以及标准构件（如索引、内积和多数函数）在满足抑制性质时，足以实现提升。

提出的方法

• 提出 k-抑制的概念：若对任意 k 个变量及目标值 b ∈ {0,1}，均存在对剩余 m−k 个变量的赋值，使得无论 k 个变量取何值，构件 g 的输出恒为 b，则称构件 g 为 k-抑制的。
• 设计一种模拟算法，将 f ◦ g 的奇偶决策树转换为 f 的确定性决策树，通过奇偶约束查询并追踪“错误”回答以模拟失败情况。
• 采用一种修改后的查询模型，其中查询形式为 ⟨v, x⟩ =? a，答案为“正确”或“错误”，以保持代价和正确性的方式模拟子空间查询。
• 证明模拟决策树的代价至多为 PDT 代价的 1/k，从而通过模拟 DT 的大小建立 PDT 大小的下界。
• 将该模拟应用于非自适应和 t 轮 PDT，表明在抑制条件下，非自适应和轮次尊重的提升定理同样成立。
• 利用常见构件（如索引函数 m=3、内积函数 m=4、多数函数 m=3）及随机函数在小 k 下均为 k-抑制的这一事实，实现广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用常数大小构件实现从确定性决策树复杂度到奇偶决策树大小复杂度的提升定理？
• RQ2 何种构件的结构性质可实现此类提升？该性质是否在自然且简单的函数中成立？
• RQ3 抑制性质能否用于推导 Res(⊕) 证明系统中证明大小的新下界？
• RQ4 该模拟技术是否可扩展至非自适应和轮次有界的 PDT？若可，其在通信复杂性中的含义为何？

主要发现

• k-抑制构件 g 确保 PDTsize(f ◦ g) ≥ 2^{DT(f)} · k，建立了具有常数构件大小的强提升结果。
• 3 位索引函数、4 位内积函数、3 位多数函数以及随机函数均被证明对小 k 值为 k-抑制的，因此适用于提升。
• 模拟算法能正确地将任意 f ◦ g 的 PDT 转换为 f 的确定性决策树，其代价至多为 PDT 代价的 1/k，从而证明了该下界。
• 该方法首次提供了将解析证明宽度下界系统性地提升为常数宽度 CNF 公式在 Res(⊕) 证明系统中证明大小下界的途径。
• 非自适应和 t 轮 PDT 同样满足提升定理：NAPDT(f ◦ g) ≥ NADT(f) · k，且轮次尊重的界在相同抑制条件下成立。
• 该结果优于以往的随机提升定理，因其基于确定性决策树复杂度和常数大小构件，解决了通信复杂性中的一个关键开放问题。