[论文解读] Lifting up the proof theory to the countables : Zermelo-Fraenkel set theory

Toshiyasu Arai|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

Philosophy and Theoretical Science参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过定义将不可数序数映射到可数序数的折叠函数，为策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）提出了一种非有效序数分析，确立了 $Ψ_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ 作为在 ZF+(V=L) 中可证明的可定义可数序数的证明论界。该分析使用受控算子推导和斯科勒姆壳层来形式化消去切割，并推导出满足一阶条件的集合必须存在的可构造层次的层级界限。

ABSTRACT

We describe the countable ordinals in terms of iterations of Mostowski collapsings. This gives a proof-theoretic bound of definable countable ordinals in the Zermelo-Fraenkel's set theory ZF.

研究动机与目标

• 将递归证明论技术从递归序数扩展到 ZF 集合论中的可数序数。
• 提供一种非有效的序数分析，以界定 ZF+(V=L) 中可定义可数序数的复杂度。
• 在可构造层次 $L_\alpha$ 的特定层级内，形式化满足一阶条件的集合的存在性。
• 确立任何满足在 ZF+(V=L) 中可证明的一阶公式的实数，必须已存在于 $L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)}$ 中，对某个 $n<\omega$。

提出的方法

• 为不可数正则基数 $\kappa \leq I$ 引入折叠函数 $\Psi_{\kappa,n}\alpha$，将低于 $\varepsilon_{I+1}$ 的序数映射到低于 $\kappa$ 的序数。
• 使用受控算子推导与斯科勒姆壳层 $Cl(X;\mathcal{F})$ 来控制推导中的序数，并确保在可定义函数下封闭。
• 应用证明系统层级 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$ 来模拟消去切割并追踪证明复杂度。
• 使用 $\Sigma_{n+1}$-可定义谓词来刻画折叠函数的像，并确保在 $\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ 中可形式化。
• 利用 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_n$ 推理的有界性与真值保持性原理，确保无切割推导意味着在 $L_I$ 中为真。
• 将 ZF+(V=L) 的证明论强度归约为 $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$ 对所有 $n<\omega$ 的上确界，从而得出 $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ 为关键界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ZF+(V=L) 中，可定义可数序数的证明论界是什么？
• RQ2 递归证明论技术能否被提升至集合论中非递归的可数设定？
• RQ3 如何利用受控算子推导和斯科勒姆壳层来界定满足一阶条件的集合存在的可构造层次级别？
• RQ4 折叠函数 $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$ 是否足以捕捉所有在 ZF+(V=L) 中可证明的可数序数？
• RQ5 能否以 $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ 的形式界定无切割推导的深度？

主要发现

• 序数 $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1} = \sup_n \{ \Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1) \}$ 是 ZF+(V=L) 中可证明的可数序数的最小上界。
• 对于任意 $\Sigma_{n_0}$-公式 $\varphi(x)$，若 ZF+(V=L) 证明 $\exists x \in L_{\omega_1} \varphi(x)$，则它也证明 $\exists x \in L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)} \varphi(x)$，对某个 $n<\omega$，其中 $n$ 取决于证明的复杂度。
• 折叠函数 $\Psi_{\kappa,n}\alpha$ 在 $\text{ZF}+(V=L)$ 中是 $\Sigma_{n+1}$-可定义的，对所有 $\alpha < \varepsilon_{I+1}$，且 $\text{ZF}+(V=L)$ 证明对所有 $\alpha < \omega_k(I+1)$，此类值的存在性。
• 证明系统 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$ 用于模拟消去切割并以无切割方式推导 $\Gamma$，其中 $c = \varphi\beta\beta$ 且 $\beta = \Psi_{\omega_1,n}(b)$。
• 整个推导可在 $\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ 中形式化，这是 ZF+(V=L) 的一个保守扩展，具有受限排中律，从而确保结果在该理论中可证明。
• 将证明的哥德尔数映射到无切割推导深度的函数 $H(g)$ 在 ZF+(V=L) 中不可证明为全函数，且 $H \notin L_{\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}}$，表明其增长超出了系统的证明论强度。