[论文解读] Lifts, Discrepancy and Nearly Optimal Spectral Gaps

Yonatan Bilu, Nati Linial|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2003

Graph theory and applications参考文献 6被引用 52

一句话总结

该论文提出了一种多项式时间算法，通过利用2-提升构造d-正则图，使其具有近乎最优的谱间隙，证明了每个最大度为d的图都存在一个2-提升，使得所有新特征值位于O(√d log³d)范围内，改进了先前的界并逼近Alon-Boppana界。关键技术工具是基于行l1范数和支持不相交向量比的对称矩阵谱半径界。

ABSTRACT

Let G be a graph on n vertices. A 2-lift of G is a graph H on 2n vertices, with a covering map π: H → G. It is not hard to see that all eigenvalues of G are also eigenvalues of H. In addition, H has n “new” eigenvalues. We conjecture that every d-regular graph has a 2-lift such that all new eigenvalues are in the range [−2 √ d − 1,2 √ d − 1] (If true, this is tight, e.g. by the Alon-Boppana bound). Here we show that every graph of maximal degree √ d has a 2-lift such that all “new ” eigenvalues are in the range [−c dlog 3 √ d,c dlog 3 d] for some constant c. This leads to a polynomial time algorithm for constructing √ arbitrarily large d-regular graphs, with second eigenvalue O ( dlog 3 d). The proof uses the following lemma (Lemma 3.3): Let A be a real symmetric matrix such that the l1 norm of each row in A is at most |xAy| d. Let α = maxx,y∈{0,1} n,supp(x)∩supp(y)= ∅ ||x||||y||. Then the spectral radius of A is at most cα log(d/α), for some universal constant c. An interesting consequence of this lemma is a converse to the Expander

研究动机与目标

• 建立d-正则图中2-提升的存在性，使其几乎达到Alon-Boppana对谱间隙的下界。
• 开发一种多项式时间算法，用于构造任意大的d-正则图，其第二特征值被限制在O(√d log³d)范围内。
• 基于l1行范数和支持不相交向量比，证明对称矩阵的新谱半径界，从而实现在提升图中对特征值的控制。

提出的方法

• 使用2-提升从n-顶点图G构造2n-顶点图H，保留G的所有特征值，并引入n个新特征值。
• 应用一个关键引理：对于l1行范数有界的实对称矩阵A，谱半径至多为cα log(d/α)，其中α是不相交支撑向量的l2范数比的最大值。
• 定义α = max_{x,y ∈ {0,1}^n, supp(x) ∩ supp(y) = ∅} ||x|| ||y|| / ||x|| ||y||，以捕捉矩阵中的结构稀疏性。
• 利用该引理界定向新特征值，证明其位于[−c d log³√d, c d log³d]范围内，其中c为某常数。
• 通过迭代应用受控特征值界的2-提升构造，实现多项式时间算法。
• 利用该界证明：对任意d-正则图，存在一个2-提升，使得所有新特征值位于O(√d log³d)范围内，逼近理论极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个d-正则图是否都能进行2-提升，使得所有新特征值位于O(√d log³d)范围内，逼近Alon-Boppana界？
• RQ2 对于l1行范数有界且具有稀疏支撑结构的对称矩阵，可导出何种谱半径界？
• RQ3 是否存在一种多项式时间算法，用于构造第二特征值为O(√d log³d)的d-正则图？
• RQ4 不相交支撑向量的l2范数比α与对称矩阵的谱半径之间有何关系？
• RQ5 该谱半径引理是否可用于证明图提升中近乎最优的谱间隙？

主要发现

• 每个d-正则图都存在一个2-提升，使得所有新特征值的绝对值有界于O(√d log³d)，逼近Alon-Boppana下界。
• 证明了一个新的谱半径界：对于l1行范数≤d的实对称矩阵A，谱半径至多为cα log(d/α)，其中α是不相交支撑的0-1向量l2范数比的最大值。
• 该界表明，可通过2-提升构造出第二特征值为O(√d log³d)的图，显著优于先前结果。
• 该构造导致一种多项式时间算法，可生成任意大的d-正则图，其谱间隙近乎最优。
• 该引理为Expander Mixing Lemma提供了逆向关系，将矩阵稀疏性与谱行为联系起来。
• 结果在对数因子范围内是紧致的，因为Alon-Boppana界表明Ω(√d)是可能的最优谱间隙。