[论文解读] Lifts of spherical Morse functions

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种球面莫尔斯函数的新型提升构造方法——即正则纤维为不相交球面并的莫尔斯函数——通过将其提升至高维欧氏空间中的浸入、嵌入及特殊通用映射。关键贡献在于，当高维微分同胚群具有连通性且满足格罗莫尔滤子条件时，两个非等价的球面莫尔斯函数在提升后可产生 $C^{\infty}$-等价的特殊通用映射。

ABSTRACT

In studies of smooth maps with good differential topological conditions such as immersions, embeddings, Morse functions and their higher dimensional versions including fold maps and application to geometry, especially algebraic and differential topology of manifolds, liftings or desingulizations of maps of appropriate classes to other maps of other appropriate classes are fundamental and important. In this paper, we consider Morse functions such that inverse images of regular values are disjoint unions of spheres, which are extensions of Morse functions with just two singular points on homotopy spheres, and defined and studied by Saeki and Suzuoka in 2000s, and lift them to immersions, embeddings and special generic maps, which are regarded as higher dimensional versions of Morse functions with just 2 singular points before. In lifting smooth maps, we usually lift them to immersions or embeddings and in this paper, as new works, we consider lifts to special generic maps, whose codimensions are not positive. In addition, we construct most of lifts by new methods.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，将球面莫尔斯函数（即具有两个奇点的莫尔斯函数的推广）提升为高余维映射。
• 将已知的莫尔斯函数与稳定映射的提升结果推广至一类具有球面正则纤维的新映射类。
• 研究当非等价的球面莫尔斯函数被提升时，其生成的 $C^{\infty}$-等价特殊通用映射的条件。
• 探讨此类提升下保持的拓扑与光滑不变量，特别是与球面微分同胚群的关系。
• 建立在源函数非等价的情况下，提升至特殊通用映射仍能保持等价类的条件。

提出的方法

• 将球面莫尔斯函数定义为从闭流形到 $\mathbb{R}^n$ 的光滑映射，其正则纤维为球面的不相交并。
• 构造提升映射 $f_k: M \to \mathbb{R}^{n+k}$，使得 $f = \pi_{n+k,n} \circ f_k$，其中 $\pi_{n+k,n}$ 为标准投影。
• 利用折痕映射与稳定映射理论，确保提升后的映射为通用映射且奇点集受控。
• 应用同伦与同胚技术对提升映射进行形变，同时保持其 $C^{\infty}$-等价类。
• 利用 $S^{m-1}$ 的保向微分同胚群的连通性及格罗莫尔滤子，控制所生成特殊通用映射的等价性。
• 通过与同伦球面的连通和及球面纤维上的微分同胚修改，构造显式例子，生成非等价的源函数但具有等价提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个在闭流形上非等价的球面莫尔斯函数在提升后可产生 $C^{\infty}$-等价的特殊通用映射？
• RQ2 球面纤维的微分同胚群的拓扑结构如何影响提升至特殊通用映射的 $C^{\infty}$-等价类？
• RQ3 即使原始函数不具有正则等价性，是否仍可使球面莫尔斯函数的提升至特殊通用映射为 $C^{\infty}$-等价？
• RQ4 对 $D^{m-1}$-微分同胚的格罗莫尔滤子数在决定提升至 $\mathbb{R}^n$ 的等价类中起何种作用？
• RQ5 与同伦球面的连通和操作及微分同胚修改如何影响提升映射的 $C^{\infty}$-等价性？

主要发现

• 对于任一维度 $m > 6$ 的闭流形上的正规球面莫尔斯函数，若其非特殊通用，且 $S^{m-1}$ 的保向微分同胚群不连通，则存在另一类不与之正则等价的此类函数。
• 尽管源函数非等价，其提升至 $\mathbb{R}^2$ 的特殊通用映射仍可为 $C^{\infty}$-等价。
• 当 $n \geq 2$ 且 $m \geq n$ 时，若保向 $D^{m-1}$-微分同胚的格罗莫尔滤子数大于 $n-1$，则可使提升至 $\mathbb{R}^n$ 的映射为 $C^{\infty}$-等价。
• 该构造依赖于通过连通和与同伦变换修改球面纤维上的微分同胚，同时保持最终特殊通用映射的 $C^{\infty}$-等价性。
• 当用于拼接的微分同胚被适当地选择并能延拓为嵌入圆盘上的恒等映射时，所生成的特殊通用映射在光滑同伦下完全相同。
• 该过程表明，源函数的 $C^0$ 等价性并不蕴含其提升映射的 $C^{\infty}$-等价性，但在球面微分同胚群的拓扑约束下，可在提升映射中恢复这种等价性。