[论文解读] Limit and end functors of dynamical systems via exterior spaces

J.M. García-Calcines, L.Hernandez Paricio+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于外空间的范畴化框架来研究动力系统，通过吸收开子集（r-外空间）构造极限空间与端空间，以分析系统的长期行为。主要贡献在于证明：在局部紧致的 T₃ 空间中，r-极限空间等于周期点的集合，而 bar-极限空间等于 ω-极限集的闭包，从而通过范畴论统一了拓扑不变量与动力系统不变量。

ABSTRACT

In this paper we analyze some applications of the category of exterior spaces to the study of dynamical systems (flows). We study the notion of an absorbing open subset of a dynamical system; i.e., an open subset that contains the "future part" of all the trajectories. The family of all absorbing open subsets is a quasi-filter which gives the structure of an exterior space to the flow. The limit space and end space of an exterior space is used to construct the limit spaces and end spaces of a dynamical system. On the one hand, for a dynamical system two limits spaces $L^{ }(X)$ and $\bar L^{ }(X)$ are constructed and their relations with the subflows of periodic, Poisson stable points and $Ω^{ }$-limits of $X$ are analyzed. On the other hand, different end spaces are also associated to a dynamical system having the property that any positive semi-trajectory has an end point in these end spaces. This type of construction permits us to consider the subflow containing all trajectories finishing at an end point $a$. When $a$ runs over the set of all end points, we have an induced decomposition of a dynamical system as a disjoint union of stable (at infinity) subflows.

研究动机与目标

• 开发一种基于外空间的范畴化框架，用于研究动力系统。
• 通过源自 r-外空间子集的极限与端空间，刻画流的长期行为。
• 将周期点与 ω-极限等拓扑不变量与外同伦理论中的函子构造联系起来。
• 通过端空间点对流进行稳定子流的分解。
• 利用来自恰当同伦理论的范畴论工具，推广经典动力系统概念。

提出的方法

• 通过包含所有未来轨迹的吸收开子集定义 r-外空间流。
• 将极限空间 $ L^\mathbf{r}(X) $ 构造为 r-外空间子集 $ E $ 的逆极限，将 $ \bar{L}^\mathbf{r}(X) $ 构造为它们闭包的逆极限。
• 利用外空间范畴定义极限与端空间的函子，实现对动力系统的范畴化处理。
• 应用外同伦理论的概念，分析相空间及其渐近行为的结构。
• 通过 r-外空间子集的前缘点刻画 $ \bar{L}^\mathbf{r}(X) \setminus L^\mathbf{r}(X) $ 中的点。
• 利用局部紧致性与正则性，将拓扑性质与极限集及 ω-极限闭包联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用外空间范畴范畴化地描述动力系统的极限与端行为？
• RQ2 r-极限空间 $ L^\mathbf{r}(X) $ 与周期点子流 $ P(X) $ 之间存在何种关系？
• RQ3 在局部紧致的 T₃ 空间中，bar-极限空间 $ \bar{L}^\mathbf{r}(X) $ 与 ω-极限集闭包 $ \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} $ 有何关系？
• RQ4 外空间的端空间能否用于将流在无穷远处分解为稳定子流？
• RQ5 在何种拓扑条件下，$ \bar{L}^\mathbf{r}(X) = \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} $ 成立？

主要发现

• 在局部紧致的 $ T_3 $ 空间中，r-极限空间 $ L^\mathbf{r}(X) $ 等于周期点子流 $ P(X) $。
• 在相同条件下，bar-极限空间 $ \bar{L}^\mathbf{r}(X) $ 等于 $ \Omega^\mathbf{r} $-极限集的闭包 $ \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} $。
• 在局部紧致的 $ T_3 $ 空间中，包含链 $ P(X) \subset P^\mathbf{r}(X) \subset \Omega^\mathbf{r}(X) \subset \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} = \bar{L}^\mathbf{r}(X) $ 成立。
• 当且仅当存在一个 r-外空间子集 $ E $ 和某个时间 $ t $，使得 $ t \cdot x \in \mathrm{Fr}(E) $ 时，点 $ x \in \bar{L}^\mathbf{r}(X) \setminus L^\mathbf{r}(X) $ 存在。
• 若 $ x \notin \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} $，则存在一个邻域 $ V_x $，使得 $ X \setminus \overline{V}_x $ 是 r-外空间，从而推出 $ x \notin \bar{L}^\mathbf{r}(X) $。
• 在局部紧致的正则空间中，有 $ \bar{L}^\mathbf{r}(X) \subset \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} $，且在 $ T_3 $ 分离公理下等式成立。