[论文解读] Limit complexities revisited [once more]

Laurent Bienvenu, Andrej Muchnik+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提供了算法随机性与柯尔莫哥洛夫复杂度基本结果的统一、简化的证明，表明条件普通复杂度 $ C(x|n) $ 的上极限等于相对于 $ \mathbf{0}' $ 的普通复杂度 $ C^{\mathbf{0}'}(x) $，并将此框架扩展至前缀复杂度、先验概率、有效开集及极限频率的结果，同时通过单一、优美的基于 $ \mathbf{0}' $-可计算性与集合枚举技术的论证，重新推导出已知的 $ 2 $-随机性判据。

ABSTRACT

The main goal of this article is to put some known results in a common perspective and to simplify their proofs. We start with a simple proof of a result of Vereshchagin saying that $\limsup_n C(x|n)$ equals $C^{0'}(x)$. Then we use the same argument to prove similar results for prefix complexity, a priori probability on binary tree, to prove Conidis' theorem about limits of effectively open sets, and also to improve the results of Muchnik about limit frequencies. As a by-product, we get a criterion of 2-randomness proved by Miller: a sequence $X$ is 2-random if and only if there exists $c$ such that any prefix $x$ of $X$ is a prefix of some string $y$ such that $C(y)\ge |y|-c$. (In the 1960ies this property was suggested in Kolmogorov as one of possible randomness definitions.) We also get another 2-randomness criterion by Miller and Nies: $X$ is 2-random if and only if $C(x)\ge |x|-c$ for some $c$ and infinitely many prefixes $x$ of $X$. This is a modified version of our old paper that contained a weaker (and cumbersome) version of Conidis' result, and the proof used low basis theorem (in quite a strange way). The full version was formulated there as a conjecture. This conjecture was later proved by Conidis. Bruno Bauwens (personal communication) noted that the proof can be obtained also by a simple modification of our original argument, and we reproduce Bauwens' argument with his permission.

研究动机与目标

• 统一并简化算法信息论中现有证明，特别是关于极限复杂度与 $ \mathbf{0}' $-相对化复杂度的研究。
• 为 Vereshchagin 的结果提供一种直接、初等的证明，即 $ \limsup_n C(x|n) $ 与 $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ 的关联，避免使用如低基定理等复杂工具。
• 将相同的证明技术推广至其他场景：前缀复杂度、二叉树上的先验概率，以及有效开集的极限频率。
• 通过统一、构造性的方式基于 $ \mathbf{0}' $-可计算性与集合枚举，重新推导并恢复已知的 $ 2 $-随机性判据。

提出的方法

• 使用 $ \mathbf{0}_{n} $，即 $ \mathbf{0}' $ oracle 的有限逼近，来模拟条件复杂度 $ C(x|n) $ 中的预言机访问，表明当 $ n $ 足够大时，有 $ C(x|n) \leq C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $。
• 构造一个 $ \mathbf{0}' $-可计算的过程，枚举所有满足对所有充分大的 $ n $ 都有 $ C(u|n) < k $ 的字符串 $ u $，使用一种尊重大小约束的射线添加程序。
• 将相同的技术应用于证明 $ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $，将结果推广至前缀复杂度。
• 利用 $ \mathbf{0}' $-枚举构造一个下界 $ \mathbf{0}' $-下半可计算函数 $ \varphi $，使得 $ \liminf f_n(x) \leq \varphi(x) $ 且 $ \int \varphi \leq \varepsilon' $，从而构造性地推广 Fatou 引理。
• 将该方法适配以证明 Conidis 定理关于有效开集极限的结果，表明即使 $ \mu(U_n) \leq 1/2 $，$ \liminf U_n $ 也未必能被一个 $ \mathbf{0}' $-有效开集覆盖，其测度为 $ 3/4 $，揭示了有效覆盖的严格限制。
• 推导出 $ 2 $-随机性的判据：$ \omega $ 是 $ 2 $-随机的当且仅当存在常数 $ c $，使得 $ \omega $ 的每个前缀 $ x $ 都是某个满足 $ C(y) \geq |y| - c $ 的字符串 $ y $ 的前缀。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以比以往方法更简单、更直接的论证，证明 $ \limsup_n C(x|n) $ 与 $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ 之间的联系？
• RQ2 相同的证明框架能否在算法复杂度的不同模型（如普通复杂度与前缀复杂度）中统一应用？
• RQ3 是否存在一种构造性、$ \mathbf{0}' $-可计算的方法，用于界定条件复杂度的上极限，并将其与预言机复杂度关联？
• RQ4 能否仅使用枚举与预言机技术，而不借助低基定理，推导出关于有效开集极限（Conidis 定理）的结果？
• RQ5 在何种精确条件下，序列 $ \omega $ 满足对无限多个前缀 $ x $ 都有 $ C(x) \geq |x| - c $，这与 $ 2 $-随机性有何关联？

主要发现

• 对所有 $ n $，$ C(x|n) $ 的上极限等于 $ C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $，为 Vereshchagin 的结果提供了新的、初等的证明。
• 相同的方法证明了 $ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $，将结果推广至前缀复杂度。
• 本文建立了一个 $ 2 $-随机性的判据：$ \omega $ 是 $ 2 $-随机的当且仅当存在常数 $ c $，使得 $ \omega $ 的每个前缀 $ x $ 都是某个满足 $ C(y) \geq |y| - c $ 的字符串 $ y $ 的前缀。
• 证明了对于一列有效开集 $ U_n $，其 $ \liminf U_n $ 未必能被一个测度为 $ 3/4 $ 的 $ \mathbf{0}' $-有效开集覆盖，即使 $ \mu(U_n) \leq 1/2 $，揭示了有效覆盖的严格界限。
• 建立了构造性版本的 Fatou 引理：给定一个可计算的下半可计算函数序列 $ f_n $，且满足 $ \int f_n \leq \varepsilon $，可有效构造一个下界 $ \mathbf{0}' $-下半可计算函数 $ \varphi $，使得 $ \liminf f_n \leq \varphi $ 且对任意 $ \varepsilon' > \varepsilon $，有 $ \int \varphi \leq \varepsilon' $。
• 本文作为主框架的推论，重新恢复了已知的 $ 2 $-随机性判据：$ \omega $ 是 $ 2 $-随机的当且仅当存在常数 $ c $，使得对无限多个前缀 $ x $，有 $ C(x) \geq |x| - c $。