[论文解读] Limit Distributions and Sensitivity Analysis for Entropic Optimal Transport on Countable Spaces

Shayan Hundrieser, Marcel Klatt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文在可数空间上建立了经验熵最优传输的极限分布，证明了传输计划弱收敛于一个中心化的高斯过程，且最优值渐近正态。分析基于对偶公式和最优性条件的敏感性分析，推导出与基底代价和熵正则化相关的加权Borisov-Dudley-Durst条件。

ABSTRACT

For probability measures supported on countable spaces we derive limit distributions for empirical entropic optimal transport quantities. In particular, we prove that the corresponding plan converges weakly to a centered Gaussian process. Furthermore, its optimal value is shown to be asymptotically normal. The results are valid for a large class of ground cost functions and generalize recently obtained limit laws for empirical entropic optimal transport quantities on finite spaces. Our proofs are based on a sensitivity analysis with respect to a weighted $\ell^1ehBnorm relying on the dual formulation of entropic optimal transport as well as necessary and sufficient optimality conditions for the entropic transport plan. This can be used to derive weak convergence of the empirical entropic optimal transport plan and value that results in weighted Borisov-Dudley-Durst conditions on the underlying probability measures. The weights are linked to an exponential penalty term for dual entropic optimal transport and the underlying ground cost function under consideration. Finally, statistical applications, such as bootstrap, are discussed.

研究动机与目标

• 将经验熵最优传输的极限定律从有限空间推广至可数状态空间。
• 建立经验熵最优传输计划在可数空间上弱收敛于中心化高斯过程。
• 在一般基底代价函数下，证明经验最优传输值的渐近正态性。
• 基于加权ℓ¹范数和对偶公式，建立敏感性分析框架。
• 推导收敛成立的条件——加权Borisov-Dudley-Durst条件，明确权重与代价和熵正则化之间的关联。

提出的方法

• 利用熵最优传输的对偶公式，分析经验测度变化下的敏感性。
• 应用熵最优传输计划的必要与充分最优性条件，推导收敛行为。
• 采用基于指数惩罚项和基底代价函数导出的权重的加权ℓ¹范数。
• 通过验证类似Borisov-Dudley-Durst的条件，建立经验传输计划的弱收敛性。
• 利用相同的敏感性框架和对偶结构，推导最优值的渐近正态性。
• 讨论了统计应用，如基于推导出的极限定律的自助法推断。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可数无限空间上，经验熵最优传输计划的渐近行为如何？
• RQ2 在可数设定下，经验最优传输值的极限分布是什么？
• RQ3 能否使用加权ℓ¹范数的敏感性分析，推导出熵最优传输的收敛条件？
• RQ4 收敛条件中的权重如何与基底代价和熵正则化相关联？
• RQ5 所推导的极限定律对统计推断（如自助程序）有何影响？

主要发现

• 经验熵最优传输计划在可数空间上弱收敛于一个中心化高斯过程。
• 在一般基底代价函数下，经验最优传输值渐近正态。
• 收敛由基于基底代价和熵惩罚的权重的Borisov-Dudley-Durst条件所控制。
• 敏感性分析框架依赖于熵最优传输的对偶公式和最优性条件。
• 结果将先前针对有限空间的极限定律推广至可数情形。
• 由于推导出的渐近正态性和收敛结构，统计应用（包括自助法）成为可能。