[论文解读] Limit laws for occupation times of stable processes

David Nualart, Fangjun Xu|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过矩方法建立了关于一维对称1稳定过程的占用时间的两个极限定理。证明了归一化的加法泛函收敛于缩放后的指数分布或正态混合分布，通过傅里叶分析和渐近矩计算推导出显式常数，解决了局部时不存在（α=1）的情形。

ABSTRACT

We prove two limit laws for functionals of one dimensional symmetric 1-stable process using the method of moments, and give a remark on Rosen's paper \cite{Rosen}.

研究动机与目标

• 建立当局部时不存在（α=1）时，一维对称1稳定过程的加法泛函的极限定理。
• 将α>1时的已有结果推广至临界情形α=1，此时标准的局部时技术失效。
• 利用矩方法推导归一化占用时间的显式极限分布。
• 提供罗森（1990）关于α=1稳定过程极限定理中常数的新表达式。
• 将马利阿文随机分析中的链式估计方法与傅里叶技术相结合，以处理1稳定过程的非半鞅性质。

提出的方法

• 应用矩方法证明1稳定过程的归一化加法泛函的弱收敛性。
• 使用傅里叶变换技术及特征函数与谱密度相关积分的渐近分析。
• 采用受[12]启发的改进型链式估计方法，以估计占用时间的高阶矩。
• 分析时间域与频率域上积分的渐近行为，特别关注在指数时间变换（t → e^{nt}）下占用时间的标度特性。
• 通过L’Hôpital法则和控制收敛定理，对时间变量较小或较大的区域上的积分进行有界处理，从而推导出矩收敛性。
• 依赖于局部时（当α>1时）的联合连续性作为参考，尽管在α=1时其不存在，但可借此启发极限行为的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 当f有界且∫|xf(x)|dx < ∞时，归一化占用时间∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds / n 的极限分布是什么？
• RQ2 当f具有零均值且∫|xf(x)|dx < ∞时，二阶标度∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds / √n 的渐近行为如何？
• RQ3 能否利用傅里叶分析与矩方法重新表达罗森（1990）关于α=1的极限定理中的常数？
• RQ4 指数时间变换（t → e^{nt}）在稳定α=1情形下的收敛性中起到何种作用？
• RQ5 如何将矩方法适配于1稳定过程这类非半鞅过程？

主要发现

• 对于有界f且满足∫|xf(x)|dx < ∞，归一化占用时间(1/n)∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds 依分布收敛于(1/π)∫f(x)dx × Z(t)，其中Z(t)为参数为t的指数随机变量。
• 当f具有零均值且∫|xf(x)|dx < ∞时，归一化泛函(1/√n)∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds 依分布收敛于正态方差混合分布：C⁻¹/² × √Z(t) × η，其中C = ∫|f̂(x)|²|x|⁻¹dx，η为标准正态随机变量。
• 在二阶极限定理中，常数以f的傅里叶变换的L²范数加权| x |⁻¹的形式显式给出。
• 在一阶情形下，当归一化因子为1/log n时，极限分布与t无关，表明存在对数标度行为。
• 矩方法成功处理了1稳定过程的非马氏性与非半鞅性，克服了鞅方法的局限性。
• 本文通过傅里叶分析与矩渐近方法，为罗森（1990）定理1.1中的常数提供了替代推导与表达式。