[论文解读] Limit Operators, Collective Compactness, and the Spectral Theory of Infinite Matrices

Simon N. Chandler‐Wilde, Marko Lindner|CentAUR (University of Reading)|May 2, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 96被引用 23

一句话总结

本文发展了一种广义的集体紧算子理论，并将其应用于序列空间上无限矩阵与算子的谱分析，建立了弗雷德霍姆性、无穷远处可逆性以及本质谱的新表征。证明了所有极限算子的单射性（法瓦德条件）可推出一大类几乎周期算子的可逆性，且对 $p=1$ 和 $p=\infty$ 提供了完整表征，解决了这些极限情形在谱理论中的长期遗留问题。

ABSTRACT

In the first half of this text we explore the interrelationships between the abstract theory of limit operators (see e.g. the recent monographs of Rabinovich, Roch & Silbermann and Lindner) and the concepts and results of the generalised collectively compact operator theory introduced by Chandler-Wilde and Zhang. We build up to results obtained by applying this generalised collectively compact operator theory to the set of limit operators of an operator $A$. In the second half of this text we study bounded linear operators on the generalised sequence space $\ell^p(\Z^N,U)$, where $p\in [1,\infty]$ and $U$ is some complex Banach space. We make what seems to be a more complete study than hitherto of the connections between Fredholmness, invertibility, invertibility at infinity, and invertibility or injectivity of the set of limit operators, with some emphasis on the case when the operator $A$ is a locally compact perturbation of the identity. Especially, we obtain stronger results than previously known for the subtle limiting cases of $p=1$ and $\infty$. Our tools in this study are the results from the first half of the text and an exploitation of the partial duality between $\ell^1$ and $\ell^\infty$. Results in this second half of the text include a new proof that injectivity of all limit operators (the classic Favard condition) implies invertibility for a general class of almost periodic operators, and characterisations of invertibility at infinity and Fredholmness for operators in the so-called Wiener algebra. In two final chapters our results are illustrated by and applied to concrete examples. Firstly, we study the spectra and essential spectra of discrete Schrödinger operators (both self-adjoint and non-self-adjoint), including operators with almost periodic and random potentials. In the final chapter we apply our results to integral operators on $\R^N$.

研究动机与目标

• 开发一种广义的集体紧算子理论，统一并扩展现有分析无限维算子谱性质的框架。
• 建立有界线性算子在 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上的弗雷德霍姆性、无穷远处可逆性与极限算子行为之间的全面联系，尤其针对 $p=1$ 和 $p=\infty$ 的情形。
• 解决带状主导算子与维纳代数算子谱理论中的开放问题，特别是 $p=1$ 和 $p=\infty$ 的临界情形。
• 为经典法瓦德条件（所有极限算子的单射性）蕴含一大类几乎周期算子可逆性提供新证明。
• 将所发展的理论应用于具体问题，包括离散薛定谔算子与 $\mathbb{R}^N$ 上的积分算子，给出显式的谱与本质谱表征。

提出的方法

• 在 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上引入严格拓扑，以处理弱收敛与对偶性，尤其适用于 $p=1$ 和 $p=\infty$，从而实现对关于较弱拓扑连续的算子的分析。
• 将广义集体紧算子理论应用于给定算子 $A$ 的算子谱（即所有极限算子的集合），建立紧性与收敛性性质向极限算子集合传递的条件。
• 利用 $\ell^1$ 与 $\ell^\infty$ 之间的对偶性，推导 $p=1$ 与 $p=\infty$ 的结果，利用 $\ell^1$ 的对偶是 $\ell^\infty$ 且反之亦然的事实，并将其与严格拓扑联系起来。
• 通过极限算子集合的行为表征弗雷德霍姆性与无穷远处可逆性，证明 $A$ 是弗雷德霍姆算子当且仅当其所有极限算子均可逆。
• 将理论应用于带状主导算子与维纳代数算子，证明在维纳代数设定下，弗雷德霍姆性等价于所有极限算子的可逆性。
• 利用 $\mathcal{P}$-收敛与极限算子的概念分析本质谱，证明本质谱等于所有极限算子谱的并集的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 法瓦德条件（所有极限算子的单射性）是否蕴含一大类几乎周期算子的可逆性？能否利用广义集体紧算子理论对此进行证明？
• RQ2 在 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上算子的谱性质，尤其是弗雷德霍姆性与无穷远处可逆性，在 $p=1$ 与 $p=\infty$ 的极限情形下如何表现？
• RQ3 定理 6.28 (iii) 中的范数一致有界性条件对于 $p \in (1,\infty)$ 是否冗余？其冗余是否意味着极限算子谱的并集是闭集？
• RQ4 极限算子理论能否推广至通过 $s$-收敛而非 $\mathcal{P}$-收敛定义的弱极限算子？这对丰富算子类有何影响？
• RQ5 具有序列收敛性质的算子理想 $S(Y)$ 是否在 $L(Y)$ 中是逆封闭的？这与算子谱的结构有何关联？

主要发现

• 本文证明，对于一大类几乎周期算子，所有极限算子的单射性（即法瓦德条件）蕴含可逆性，且通过广义集体紧算子理论提供了新且直接的证明。
• 对于维纳代数中的算子，弗雷德霍姆性等价于所有极限算子的可逆性，且本质谱等于所有极限算子谱的并集的闭包。
• 该理论为 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上算子的弗雷德霍姆性与无穷远处可逆性提供了完整表征，包括此前未解决的 $p=1$ 与 $p=\infty$ 情形。
• 作者证明，当且仅当定理 6.28 (iii) 中的范数一致有界性条件冗余时，集合 $\bigcup_{B \in \sigma^{\sf op}(A)} \mathrm{spec}(B)$ 是闭集，该结果在 $p=1$ 与 $p=\infty$ 情形下得到证明。
• 提出一种基于对偶的新方法，通过严格拓扑将 $\ell^1$ 与 $\ell^\infty$ 联系起来，实现了从 $p=1$ 到 $p=\infty$ 以及反之的结果扩展。
• 该理论成功应用于具有几乎周期与随机势的离散薛定谔算子，给出了其谱与本质谱的显式表征。