[论文解读] Limit processes of non-equilibrium TASEP

Ivan Corwin, Patrik L. Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 7

一句话总结

本文研究了在两侧行伯努利初始条件下（左密度为 ρ₋，右密度为 ρ₊）的完全不对称简单排斥过程（TASEP）的宏观与介观波动。利用缓慢退相关原理，该研究建立了在不同宏观区域中高度函数波动的大时间标度极限，将固定时间下的结果扩展至整个时空平面（除伯努瓦方程的特征曲线外），并推导出与最后通过时间偏移和受扰动的Wishart矩阵特征值分布相关的类似结果。

ABSTRACT

We consider the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) with two-sided Bernoulli initial condition, i.e., with left density rho_- and right density rho_+. We consider the associated height function, whose discrete gradient is given by the particle occurrences. Macroscopically one has a deterministic limit shape with a shock or a rarefaction fan depending on the values of rho_{+/-}. We characterize the large time scaling limit of the fluctuations as a function of the densities rho_{+/-} and of the different macroscopic regions. Moreover, using a slow decorrelation phenomena, the results are extended from fixed time to the whole space-time, except along the some directions (the characteristic solutions of the related Burgers equation) where the problem is still open. On the way to proving the results for TASEP, we obtain the limit processes for the fluctuations in a class of corner growth processes with external sources, of equivalently for the last passage time in a directed percolation model with two-sided boundary conditions. Additionally, we provide analogous results for eigenvalues of perturbed complex Wishart (sample covariance) matrices.

研究动机与目标

• 表征在两侧行伯努利初始条件下的TASEP高度函数波动的大时间标度极限。
• 将固定时间下的波动结果扩展至整个时空平面，除伯努瓦方程的特征方向外。
• 为具有外部源的角增长过程及具有两侧行边界条件的最后通过时间偏移过程建立类似的波动极限。
• 推导受扰动复Wishart矩阵特征值的相应结果。

提出的方法

• 在密度为 ρ₋ 和 ρ₊ 的两侧行伯努利初始条件下分析TASEP高度函数。
• 应用缓慢退相关原理，将固定时间下的波动结果扩展至整个时空域。
• 利用TASEP与具有两侧行边界条件的最后通过时间偏移之间的联系，推导波动极限。
• 为具有外部源的角增长模型建立极限过程，其等价于有向渗流中的最后通过时间。
• 将相同框架应用于研究受扰动复Wishart矩阵中特征值的波动。
• 依赖于宏观极限形状分析及基于 ρ₊ 与 ρ₋ 相对值的区域特定波动标度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两侧行伯努利初始条件（密度分别为 ρ₋ 和 ρ₊）下，TASEP高度函数波动在大时间极限下的标度行为如何？
• RQ2 这些波动在由 ρ₊ 与 ρ₋ 相对值定义的不同宏观区域中的行为如何？
• RQ3 在TASEP中，固定时间下的波动结果在多大程度上可扩展至整个时空平面？
• RQ4 具有两侧行边界条件及外部源的最后通过时间偏移的极限过程是什么？
• RQ5 受扰动复Wishart矩阵的特征值波动与所研究的TASEP及渗流模型有何关联？

主要发现

• TASEP高度函数波动的大时间标度极限取决于由 ρ₊ 与 ρ₋ 定义的宏观区域，其在激波区与稀疏扇区表现出不同的行为。
• 波动由随宏观相图连续变化的通用极限过程表征。
• 缓慢退相关原理使得固定时间下的波动结果得以扩展至整个时空平面，除伯努瓦方程的特征曲线外。
• 为具有外部源的角增长过程及具有两侧行边界条件的最后通过时间偏移过程推导出类似的波动极限。
• 证明了相同的极限过程也控制受扰动复Wishart矩阵的特征值波动。
• 结果建立了一个统一框架，通过通用标度极限将TASEP、有向渗流与随机矩阵理论联系起来。