[论文解读] Limit properties of exceedances point processes of scaled stationary Gaussian sequences

Hashorva, Enkelejd, Zuoxiang Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文在弱依赖和缩放分布尾部呈Weibull型的条件下，建立了随机缩放平稳高斯序列的超额点过程的极限分布。证明了极大值与极小值渐近独立，将先前仅限于压缩序列的结果扩展至包含重尾缩放的压缩与膨胀序列。

ABSTRACT

We derive the limiting distributions of exceedances point processes of randomly scaled weakly dependent stationary Gaussian sequences under some mild asymptotic conditions. In the literature analogous results are available only for contracted stationary Gaussian sequences. In this paper, we include additionally the case of randomly inflated stationary Gaussian sequences with a Weibullian type random scaling. It turns out that the maxima and minima of both contracted and inflated weakly dependent stationary Gaussian sequences are asymptotically independent.

研究动机与目标

• 建立具有缩放分布Weibull型尾部行为的随机缩放平稳高斯序列的二元超额点过程的弱收敛性。
• 将先前仅限于压缩序列的结果扩展，纳入具有重尾缩放的随机膨胀序列情形。
• 在Berman条件下，证明压缩与膨胀弱依赖高斯序列中极大值与极小值的渐近独立性。
• 构建一个点过程框架，以实现对上下阶统计量联合极限分布的分析。

提出的方法

• 使用二元超额点过程框架来建模缩放高斯序列的极值，其中水平通过归一化序列 $ u_n(x) = a_n x + b_n $ 定义。
• 应用点过程方法，分析正负极值在高阈值以上的超额的联合极限分布。
• 施加Berman条件 $ \lim_{n\to\infty} \rho(n) \ln n = 0 $ 以确保弱依赖性及极大值的Gumbel收敛性。
• 分析缩放随机变量 $ Y = S X $ 的尾部行为，其中 $ S $ 具有Weibull型尾部，并推导出渐近尾部概率 $ \mathbb{P}(Y > u) \sim g(u) \exp(-T u^{2p/(2+p)}) $。
• 利用引理3.4和3.5控制重叠区间内超额事件的联合概率，使用时间集的Lebesgue测度进行界定。
• 证明二元点过程 $ \mathbf{N}_n $ 弱收敛于实直线上强度为 $ \exp(-x) $ 的混合泊松过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当缩放分布具有Weibull型尾部时，随机缩放平稳高斯序列的超额点过程是否弱收敛？
• RQ2 在Berman条件下，此类缩放序列的极大值与极小值是否渐近独立？
• RQ3 能否通过二元点过程框架表征上下极值的联合极限分布？
• RQ4 当缩放分布具有有限端点与无限支撑时，超额的渐近行为如何变化？

主要发现

• 二元超额点过程 $ \mathbf{N}_n $ 弱收敛于强度为 $ \exp(-x) $ 的混合泊松过程，意味着高阈值以上超额数量收敛于泊松分布。
• 对于 $ x_F = \infty $ 的Weibull型缩放，Berman条件下缩放序列的极大值 $ M_n $ 收敛于Gumbel分布。
• 压缩与膨胀弱依赖高斯序列的极大值与极小值渐近独立，将经典结果扩展至随机缩放情形。
• 正负极值超额的联合极限分布由边际极限的乘积表征，证实了渐近独立性。
• 该收敛性在依赖结构和缩放分布尾部行为的较弱条件下成立，包括尾部分布中出现的正则变体函数。
• 证明依赖于通过时间区间Lebesgue测度界定的重叠超额事件概率，最终极限表达式为 $ m(B_1) \exp(-x_1) + m(B_2) \exp(-x_2) $。