[论文解读] Limit theorem for perturbed random walks

Hoang-Long Ngo, Marc Peigné|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文为 ℤ 上具有空间异质性的随机游走建立了功能性中心极限定理，该随机游走在 ℤ⁻ 和 ℤ⁺ 上具有不同的独立同分布增量分布，并在返回 0 时重启，证明其弱收敛于偏斜布朗运动。偏斜参数 α 由更新函数和增量分布的转移概率显式确定，将先前结果推广至任意可积增量，并将不变性原理扩展至对称伯努利步长之外的情形。

ABSTRACT

We consider random walks perturbed at zero which behave like (possibly different) random walks with i.i.d. increments on each half lines and restarts at $0$ whenever they cross that point. We show that the perturbed random walk, after being rescaled in a proper way, converges to a skew Brownian motion whose parameter is defined by renewal functions of the simple random walks and the transition probabilities from $0$.

研究动机与目标

• 为 ℤ 上具有正负整数上不同增量分布的空间异质性随机游走类建立功能性中心极限定理。
• 将先前关于收敛至偏斜布朗运动的结果（限于对称伯努利步长）推广至具有有限二阶矩的一般独立同分布增量。
• 通过底层随机游走的更新函数和首达概率，表征极限偏斜布朗运动的偏斜参数 α。
• 通过有限维分布收敛与紧致性，提供弱收敛的严格证明，克服了早期依赖反射原理的证明的局限性。

提出的方法

• 定义一个离散时间马尔可夫过程 (X(n))，其在 ℤ⁺ 和 ℤ⁻ 上以不同的独立同分布增量演化，并在穿越零点时重置为 0。
• 通过线性插值 (X(n)) 构造连续时间过程 (X(t))，并以 1/√n 进行缩放，其中正负状态分别使用 σ 和 σ′ 进行缩放。
• 通过分析联合特征函数并应用退出时间与首达分布的拉普拉斯变换，证明有限维分布的收敛性。
• 利用与 ℤ⁺ 和 ℤ⁻ 上随机游走相关的更新函数 h 和 h′，将偏斜参数 α 表示为期望 hitting 时间与首达概率的函数。
• 通过增量的矩界和部分和上确界的控制，建立缩放过程的紧致性，以控制连续性模。
• 利用文献 [4] 中的定理 7.1，得出在 c`adl`ag 函数的斯科罗霍德空间中的弱收敛性，并通过插值将其扩展至连续路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 ℤ⁺ 和 ℤ⁻ 上不同增量分布的受扰动随机游走弱收敛于偏斜布朗运动？
• RQ2 极限偏斜布朗运动的偏斜参数 α 如何由底层增量分布及零点处的转移概率决定？
• RQ3 偏斜布朗运动的不变性原理能否从对称伯努利步长扩展至具有有限二阶矩的一般独立同分布增量？
• RQ4 更新函数在表征空间异质扩散中极限过程的偏斜性方面起什么作用？
• RQ5 在一般矩条件下，如何为非马尔可夫性、状态依赖的随机游走建立紧致性与有限维收敛性？

主要发现

• 当 n → ∞ 时，缩放过程 (Xₙ(t)) 弱收敛于 ℝ 上的偏斜布朗运动 (B^α(t))，为异质性随机游走建立了功能性中心极限定理。
• 偏斜参数 α 由 α = [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}]] / [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}] + c′₁𝔼[h′(−η₁)𝟏_{η₁<0}]] 给出，其中 h 和 h′ 分别为下降与上升的更新函数。
• 常数 c₁ 和 c′₁ 分别通过涉及概率 ℙ(S(k) ≥ 0) 和 ℙ(S′(k) ≤ 0) 的无穷乘积表达，反映了随机游走的偏移性。
• 收敛性在增量的非周期性与有限二阶矩条件下成立，且在零点处跳跃分布可积。
• 该证明通过移除对称伯努利步长的限制，将先前结果推广至具有有限二阶矩的一般独立同分布增量。
• 通过使用部分和上确界与零点跳跃大小控制连续性模，建立了紧致性，确保了分布收敛。