[论文解读] Limit theorems for assortativity and clustering in the configuration model with scale-free degrees

Remco van der Hofstad, Pim van der Hoorn+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 4

一句话总结

该论文为具有无限方差的幂律度分布的配置模型中的度相关性和聚类建立了极限定理。结果表明，皮尔逊相关系数和聚类系数收敛于由耦合稳定随机变量组成的分布，其参数由度分布的尾指数决定。

ABSTRACT

We consider Pearson's correlation coefficient in the erased configuration model and the clustering coefficient in both the standard and erased configuration model, with regularly-varying degree distributions having finite mean and infinite variance. We prove limit theorems for all three measures, where the limit is a composition of coupled random variables with stable distributions, whose parameters are related to the tail exponent of the degree distribution. An essential tool for our proofs is a new result for the scaling of the number of removed edges in the erased configuration model with scale-free degree distributions, which is of independent interest.

研究动机与目标

• 分析在重尾度分布下配置模型中度相关性和聚类的渐近行为。
• 解决度分布中无限方差带来的挑战，该挑战使得标准极限定理难以应用。
• 推导标准配置模型和擦除配置模型的极限分布，特别关注被移除边的缩放行为。
• 建立度分布尾指数与网络度量极限稳定分布参数之间的联系。

提出的方法

• 使用擦除配置模型以消除自环和多重边，从而能够分析真实网络结构。
• 应用极值理论和正常变体理论，刻画擦除模型中被移除边数的缩放行为。
• 采用弱收敛技术，推导皮尔逊相关系数和聚类系数的极限定理。
• 将极限分布建模为耦合稳定随机变量的复合形式，其参数由度分布的尾指数导出。
• 提出了一项关于无标度配置模型中边移除的新缩放结果，这是证明的核心。
• 依赖于度分布的正常变体性质，将尾行为与网络度量的渐近特性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度服从具有无限方差的正则变体分布时，配置模型中的度相关性和聚类行为如何？
• RQ2 在具有此类度分布的擦除配置模型中，皮尔逊相关系数的极限分布是什么？
• RQ3 在重尾度下，标准和擦除配置模型中的聚类系数如何缩放？
• RQ4 尾指数在决定网络度量极限稳定分布参数方面起什么作用？
• RQ5 在具有无标度度的擦除配置模型中，被移除边的数量如何缩放，其对极限行为有何影响？

主要发现

• 在擦除配置模型中，皮尔逊相关系数的极限分布是耦合稳定随机变量的复合形式。
• 在标准和擦除配置模型中，聚类系数均收敛于依赖于相同稳定分布框架的极限。
• 极限稳定分布的参数明确与度分布的尾指数相关联。
• 推导出擦除配置模型中被移除边数的新缩放律，这对证明极限定理至关重要。
• 结果在度分布具有有限均值但无限方差的假设下成立，这捕捉了真实网络的无标度特性。
• 收敛于稳定分布表明，网络结构中的极端波动由度序列的重尾行为所主导。