[论文解读] Limit theorems for classical, freely and Boolean max-infinitely divisible distributions

Yuki Ueda|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过使用一种类似Belinschi-Nica的半群来构建布尔-经典Bercovici-Pata双射的极大值类比，研究极大卷积下的半群结构，证明该半群的时间一映射连接了布尔与经典极值无穷可分分布的极限定理。进一步表明，该半群也关联了自由与布尔极值无穷可分律，通过一种新颖的极大值-Belinschi-Nica半群，统一了经典、自由与布尔概率理论中的极值极限定理。

ABSTRACT

We investigate a Belinschi-Nica type semigroup for free and Boolean max-convolutions. We prove that this semigroup at time one connects limit theorems for freely and Boolean max-infinitely divisible distributions. Moreover, we also construct a max-analogue of Boolean-classical Bercovici-Pata bijection, establishing the equivalence of limit theorems for Boolean and classical max-infinitely divisible distributions.

研究动机与目标

• 通过极大值类比的Belinschi-Nica半群，将布尔-经典Bercovici-Pata双射扩展至极值无穷可分设置。
• 通过极大卷积上的半群结构，统一经典、自由与布尔极值无穷可分分布的极限定理。
• 通过一种新颖的极大值-Bercovici-Pata双射，建立布尔与经典极值理论中极限定理的对应关系。
• 阐明极大值-Belinschi-Nica半群的时间一映射在连接自由与布尔极值无穷可分律中的作用。

提出的方法

• 通过映射 $\mathbf{B}_t^M(\mu) := (\mu^{\boxplus(1+t)})^{\uplus\frac{1}{1+t}}$ 对 $t \geq 0$ 和 $\mu \in \mathcal{P}^+$ 定义极大值类比的Belinschi-Nica半群，该映射在复合运算下构成一个半群。
• 在分布函数上定义极大卷积运算 $\lor$（经典）、$\cup$（布尔）和 $\Box$（自由），其中 $F \lor G = FG$，$F \cup G = \frac{F}{1 - (1 - F)(1 - G)}$，以及 $F \Box G = F \boxplus G$。
• 通过 $\mathcal{X}(F)(x) = \frac{1}{2 - F(x)}$（$x \geq 0$）定义映射 $\mathcal{X}: \Delta_+ \to \Delta_+$，该映射即为布尔-经典极大值Bercovici-Pata双射。
• 证明时间一映射 $\mathbf{B}_1^M$ 与布尔-自由Bercovici-Pata双射的极大值类比一致，从而直接建立布尔与自由极值无穷可分律之间的联系。
• 利用弱收敛论证与 $F_n^{\lor k_n}$ 和 $F_n^{\Box \lor k_n}$ 的渐近分析，建立不同卷积类型下极限定理的等价性。
• 应用半群结构推导收敛结果：$F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} F$ 当且仅当 $F_n^{\cup \lor k_n} \xrightarrow{w} \mathcal{X}^{-1}(F)$，且 $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} \Lambda^\lor(F)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过半群框架将布尔-经典Bercovici-Pata双射扩展至极值无穷可分设置？
• RQ2 极大值-Belinschi-Nica半群的时间一映射在连接自由与布尔极值无穷可分分布中起什么作用？
• RQ3 能否构造一个Bercovici-Pata双射的极大值类比，以统一经典、布尔与自由极值理论中的极限定理？
• RQ4 在何种条件下，自由极大卷积下的收敛性可推出经典极大卷积下的收敛性？
• RQ5 在弱收敛下，$F_n^{\lor k_n}$、$F_n^{\cup \lor k_n}$ 与 $F_n^{\Box \lor k_n}$ 的渐近行为有何关联？

主要发现

• 映射 $\mathcal{X}(F)(x) = \frac{1}{2 - F(x)}$（$x \geq 0$）定义了一个布尔-经典极大值Bercovici-Pata双射，其逆映射为 $\mathcal{X}^{-1}(F)(x) = \frac{F(x)}{1 + F(x)}$。
• 极大值-Belinschi-Nica半群的时间一映射 $\mathbf{B}_1^M$ 与布尔-自由Bercovici-Pata双射一致，从而建立了布尔与自由极值无穷可分律之间的直接联系。
• 对于序列 $\{F_n\}$ 与 $\{k_n\}$，有 $F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} F$ 当且仅当 $F_n^{\cup \lor k_n} \xrightarrow{w} \mathcal{X}^{-1}(F)$，证明了经典与布尔极值无穷可分设置下极限定理的等价性。
• 若 $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} F$ 且 $F > 0$ 在 $[0,\infty)$ 上成立，则 $F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} \Pi_{1,F}^\lor = \mathcal{X}\left(\frac{1}{2 - F}\right)$，表明自由极值极限律蕴含经典极值极限律。
• 半群 $\{\mathbf{B}_t^M\}_{t \geq 0}$ 满足 $\mathbf{B}_t^M \circ \mathbf{B}_s^M = \mathbf{B}_{t+s}^M$，确认其在复合运算下为一个定义良好的半群。
• 收敛性 $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} \Lambda^\lor(F)$ 成立当且仅当 $F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} \Pi_{1,F}^\lor$，从而在自由与经典极值极限定理之间建立了完全的对应关系。