[论文解读] Limit Theorems for Entropic Optimal Transport Maps and the Sinkhorn Divergence

Ziv Goldfeld, Kengo Kato+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2022

Drug Transport and Resistance Mechanisms被引用 9

一句话总结

本文通过在 Hölder 函数空间中对 EOT 潜在变量进行新颖的 Hadamard 可微性分析，建立了熵最优传输（EOT）映射、对偶势函数以及 Sinkhorn 散度的中心极限定理。关键贡献在于推导了在原假设下经验 Sinkhorn 散度的渐近分布，从而实现了对 Sinkhorn 独立性检验的合理推断，并确定了适当的缩放方式。

ABSTRACT

We study limit theorems for entropic optimal transport (EOT) maps, dual potentials, and the Sinkhorn divergence. The key technical tool we use is a first and second-order Hadamard differentiability analysis of EOT potentials with respect to the marginal distributions, which may be of independent interest. Given the differentiability results, the functional delta method is used to obtain central limit theorems for empirical EOT potentials and maps. The second-order functional delta method is leveraged to establish the limit distribution of the empirical Sinkhorn divergence under the null. Building on the latter result, we further derive the null limit distribution of the Sinkhorn independence test statistic and characterize the correct order. Since our limit theorems follow from Hadamard differentiability of the relevant maps, as a byproduct, we also obtain bootstrap consistency and asymptotic efficiency of the empirical EOT map, potentials, and Sinkhorn divergence.

研究动机与目标

• 在一般抽样方案下，为熵最优传输（EOT）映射、对偶势函数以及 Sinkhorn 散度建立严格的渐近理论。
• 解决基于 EOT 的统计量缺乏极限定理的问题，特别是针对 Sinkhorn 散度及其在独立性检验中的应用。
• 通过证明 EOT 潜在变量在 Hölder 空间中的第一阶和第二阶 Hadamard 可微性，建立 EOT 对象的功能 delta 方法框架。
• 推导 Sinkhorn 独立性检验统计量在原假设下的极限分布，并刻画其正确的渐近阶次。
• 作为可微性分析的直接结果，建立经验 EOT 映射、势函数以及 Sinkhorn 散度的自助法一致性与渐近效率。

提出的方法

• 对 EOT 潜在变量作为从概率测度到 Hölder 函数空间的映射，进行一阶和二阶 Hadamard 可微性分析。
• 利用 S ̈chrodinger 方程和隐函数定理的一个版本，在连续函数空间中建立可微性，然后将其提升至 Hölder 空间。
• 应用功能 delta 方法，推导经验 EOT 潜在函数和映射的中心极限定理。
• 利用二阶功能 delta 方法，获得在原假设下经验 Sinkhorn 散度的极限分布。
• 利用原假设下的极限分布，推导 Sinkhorn 独立性检验统计量的渐近原假设分布，并确定其正确的缩放因子。
• 作为 Hadamard 可微性结果的直接推论，建立经验 EOT 映射、势函数以及 Sinkhorn 散度的自助法一致性与渐近效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在从底层测度进行 i.i.d. 抽样时，经验 EOT 映射的极限分布是什么？
• RQ2 当底层测度相等（原假设情形）时，经验 Sinkhorn 散度的极限分布是什么？
• RQ3 在原假设下，Sinkhorn 独立性检验统计量的正确渐近缩放是什么？
• RQ4 Hölder 空间中 EOT 潜在变量的 Hadamard 可微性如何促成基于 EOT 统计量的极限定理推导？
• RQ5 经验 EOT 映射、势函数以及 Sinkhorn 散度是否具有渐近效率和自助法一致性？

主要发现

• 证明了 EOT 潜在变量作为从概率测度到 Hölder 函数空间的映射，具有第一阶和第二阶 Hadamard 可微性，该结果本身具有独立兴趣。
• 功能 delta 方法导出了经验 EOT 潜在函数和映射的中心极限定理，确立了其渐近正态性。
• 二阶功能 delta 方法建立了在原假设下经验 Sinkhorn 散度的极限分布，其为一个以底层函数空间为指标的非退化高斯过程。
• 推导了 Sinkhorn 独立性检验统计量的原假设极限分布，并证明其以参数速率 $n^{-1/2}$ 收敛，同时确定了正确的缩放因子。
• 由于底层映射的 Hadamard 可微性，建立了经验 EOT 映射、势函数以及 Sinkhorn 散度的自助法一致性。
• 作为可微性框架的副产品，证明了经验 EOT 映射、势函数以及 Sinkhorn 散度的渐近效率。