[论文解读] Limit Theorems for Marked Hawkes Processes with Application to a Risk Model

Dmytro Karabash, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了带随机标记的线性标记霍克斯过程的大偏差原理和中心极限定理，将极限定理推广至标记点过程。主要贡献在于为归一化的计数过程推导出严格的大型偏差率函数，并在标记服从指数分布时得到显式公式，从而在风险建模与 ruin 概率分析中具有应用价值。

ABSTRACT

This paper focuses on limit theorems for linear Hawkes processes with random marks. We prove a large deviation principle, which answers the question raised by Bordenave and Torrisi. A central limit theorem is also obtained. We conclude with an example of application in finance.

研究动机与目标

• 将极限定理——特别是大偏差与中心极限定理——从无标记推广至具有随机标记的标记霍克斯过程。
• 解决 Bordenave 与 Torrisi 提出的关于标记霍克斯过程大偏差的问题。
• 为在风险模型中应用标记霍克斯过程提供理论基础，尤其在保险与金融领域。
• 在标记分布为指数分布时，推导出大偏差率函数的显式表达式。
• 分析由标记霍克斯过程驱动的风险模型中 ruin 概率的渐近行为。

提出的方法

• 将标记霍克斯过程形式化为点过程，其强度为 $\lambda_t = \nu + \sum_{\tau_i < t} h(t - \tau_i, a_i) $，其中 $a_i$ 为独立同分布的标记，分布为 $q(da)$。
• 在条件 $\int_{\mathbb{X}} H(a) q(da) < 1$ 下，证明平稳版本的存在性与唯一性，其中 $H(a) = \int_0^\infty h(t,a) dt$。
• 利用鞅技巧与泛函中心极限定理论证，证明 $N_t/t$ 的中心极限定理。
• 通过分析矩生成函数 $\Gamma(\theta)$ 并应用 G"{a}rtner-Ellis 定理，推导 $N_t/t$ 的大偏差原理。
• 利用压缩原理与过程级大偏差技术，推导率函数 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$。
• 将结果应用于具有随机索赔到达且通过标记霍克斯过程体现依赖性的风险模型，分析无限与有限时间 horizon 的 ruin 概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性标记霍克斯过程中，归一化计数过程 $N_t/t$ 的大偏差原理是什么？
• RQ2 与无标记情形相比，随机标记的存在如何影响霍克斯过程的中心极限定理？
• RQ3 当标记分布为指数分布时，能否推导出大偏差率函数的显式表达式？
• RQ4 在索赔到达服从标记霍克斯过程的风险模型中，其 ruin 概率的渐近行为如何？
• RQ5 净利润条件与索赔规模尾部行为如何影响 ruin 概率的衰减速率？

主要发现

• 为 $N_t/t$ 建立了大偏差原理，率函数为 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$，其中 $\Gamma(\theta)$ 由过程的矩生成函数导出。
• 当标记服从参数为 $\lambda$ 的指数分布时，率函数具有显式形式：$$ I(x) = x\log\left(\frac{-2x^2 + x\sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\lambda\nu^2}\right) - \nu\left(\frac{1}{2}\{\lambda+1 - \frac{-2x + \sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\nu}\} - 1\right) $$ 对于 $x \geq 0$ 成立。
• 对于参数为 $\gamma$ 的指数索赔规模，无限时间 horizon 的 ruin 概率满足 $$ \lim_{u\to\infty} \frac{1}{u}\log\psi(u) = -\theta^\dagger $$，其中 $\theta^\dagger$ 是涉及 $\rho$、$\nu$、$\gamma$ 与 $\lambda$ 的二次方程的解。
• 有限时间 horizon 的 ruin 概率渐近行为以索赔规模分布的尾指数 $\alpha$ 表示，对正则变体与威布尔尾部索赔给出了显式表达式。
• 无限时间 horizon 的 ruin 概率以速率 $\theta^\dagger$ 指数衰减，且在净利润条件下有 $$ \lim_{u\to\infty} \frac{\psi(u)}{\overline{B}_0(u)} = \frac{\nu\mathbb{E}[C_1]}{\rho(1 - \mathbb{E}^q[H(a)]) - \nu\mathbb{E}[C_1]} $$。
• 中心极限定理表明，$\frac{N_{\cdot t} - \cdot \mu t}{\sqrt{t}} \Rightarrow \sigma B(\cdot)$ 在 $D[0,1]$ 上弱收敛，其中 $\mu = \frac{\nu}{1 - \mathbb{E}^q[H(a)]}$ 且 $\sigma^2 = \frac{\nu}{(1 - \mathbb{E}^q[H(a)])^3}$。