[论文解读] Limit theorems for multifractal products of random fields

Illia Donhauzer, Andriy Olenko|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2022

Financial Risk and Volatility Modeling被引用 1

一句话总结

本文建立了在超立方体 $[0,1]^n$ 上的随机场多重分形乘积的极限定理，提供了 $L^q$ 空间收敛的充分条件，并推导出明确的收敛速率。文中提出了简化且统一的条件以计算 Rényi 函数——其限制条件较以往一维结果更为宽松——并引入了一类新的几何 $φ$-次高斯随机场，使得假设条件仅依赖于协方差结构。

ABSTRACT

This paper investigates asymptotic properties of multifractal products of random fields. The obtained limit theorems provide sufficient conditions for the convergence of cumulative fields in the spaces $L_q.$ New results on the rate of convergence of cumulative fields are presented. Simple unified conditions for the limit theorems and the calculation of the Rényi function are given. They are less restrictive than those in the known one-dimensional results. The developed methodology is also applied to multidimensional multifractal measures. Finally, a new class of examples of geometric $φ$-sub-Gaussian random fields is presented. In this case, the general assumptions have a simple form and can be expressed in terms of covariance functions only.

研究动机与目标

• 将现有关于多重分形随机场乘积的极限定理推广至多维区域，特别是超立方体 $[0,1]^n$。
• 建立累积随机场 $A_m(t)$ 在 $m \to \infty$ 时几乎必然收敛与 $L^q$ 收敛的充分条件。
• 推导出对极限多重分形测度 $\mu(\cdot)$ 的 Rényi 函数计算的显式、统一条件，其限制条件较以往一维研究更为宽松。
• 分析 $A_m(t)$ 在 $L^q$ 空间中对 $A(t)$ 的收敛速率，特别关注几何 $φ$-次高斯场的情形。
• 构建一类新的几何 $φ$-次高斯随机场，使得收敛条件仅依赖于协方差函数。

提出的方法

• 将 Denisov 和 Leonenko (2015) 的方法适配并扩展至 $n$ 维随机场，采用改进的混合条件。
• 运用 $φ$-次高斯随机场理论刻画底层随机场，从而简化矩条件与尾部条件。
• 利用 Rényi 函数的 Legendre 变换将矩缩放与多重分形特性关联，且在对数正态与高斯假设下实现显式计算。
• 应用基于矩的判别准则与矩生成函数技术，推导 $\mathbb{E}|A(t) - A_m(t)|^q$ 的上界。
• 引入 $p$-弱相依的概念，并利用其控制场中的依赖结构，从而在更弱的矩假设下实现收敛。
• 通过指数矩上界与协方差衰减 $\rho_X(\sqrt{n}x) \leq C_2 x^{-\alpha}$，$\alpha > n$ 的渐近分析，推导出显式的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件可确保由 $n$ 维随机场生成的累积随机场 $A_m(t)$ 实现 $L^q$ 收敛？
• RQ2 在较以往一维研究更为宽松的假设下，如何显式计算极限多重分形测度 $\mu(\cdot)$ 的 Rényi 函数？
• RQ3 $A_m(t)$ 对 $A(t)$ 在 $L^q$ 空间中对 $q > 0$ 的显式收敛速率为何？其如何依赖于场的依赖结构？
• RQ4 是否可在特定随机场类（如几何 $φ$-次高斯场）中，使收敛条件简化为仅依赖于协方差函数？
• RQ5 极限测度 $\mu(\cdot)$ 在何种条件下对 Borel 集满足几乎必然收敛？其 Rényi 函数在何种条件下可显式计算？

主要发现

• 对于 $n$ 维随机场，本文在统一条件下建立了 $A_m(t)$ 对 $A(t)$ 的 $L^q$ 收敛性，其条件较以往一维结果更为宽松。
• 在几何高斯情形下，极限测度的 Rényi 函数显式计算为 $T(q) = q - 1 - \frac{1}{n} \log_b e^{\frac{q(q-1)\mathbb{E}X^2(0)}{2}}$，其中 $q \in [0,p]$。
• 推导出显式收敛速率：$\mathbb{E}|A(t) - A_m(t)|^q \leq C \left(\prod_{i=1}^n t_i\right)^{q-1} \left(\frac{e^{a(p)}}{b^n}\right)^m$，其中 $a(p) = \frac{1}{n}\left[\phi(p^2 D_X^2 \rho_X(0)) - p \ln \mathbb{E}e^{X(0)}\right]$。
• 对于零均值、各向同性的高斯场，当 $b > \exp\left(\frac{p(p-1)\mathbb{E}X^2(0)}{2n}\right)$ 时，对 $q \in [0,p]$ 有 $L^q$ 收敛。
• 当协方差满足 $\rho_X(\sqrt{n}x) \leq C_1 x^{-\alpha}$ 且 $\alpha > p(p-1)\mathbb{E}X^2(0)/(2 \ln b)$ 时，收敛速率在 $m$ 上呈指数形式。
• 若 $\sum_{m=1}^\infty (\rho_X(0) - \rho_X(b^{-m})) < \infty$，则对 Borel 集 $B_j$ 有 $\mu_m(B_j) \to \mu(B_j)$ 几乎必然成立，该条件在协方差多项式衰减时成立。