[论文解读] Limit theorems for random walks in dynamic random environment

Frank Redig, Florian Völlering|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 8

一句话总结

该论文通过引入环境混合性质的基于耦合的条件，建立了动态随机环境中随机游走的极限定理。在该条件下，环境过程继承了强遍历性和集中性质，从而实现了对行走者位置的大数定律、中心极限定理、爱因斯坦关系以及常返/遍历性准则的严格证明，且其结果对跳跃速率具有连续依赖性。

ABSTRACT

We study a general class of random walks driven by a uniquely ergodic Markovian environment. Under a coupling condition on the environment we obtain strong ergodicity properties and concentration inequalities for the environment as seen from the position of the walker, i.e the environment process. We also obtain ergodicity of the uniquely ergodic measure of the environment process as well as continuity as a function of the jump rates of the walker. As a consequence we obtain several limit theorems, such as law of large numbers, Einstein relation, central limit theorem and concentration properties for the position of the walker.

研究动机与目标

• 建立当环境唯一遍历且混合足够快时，动态随机环境中随机游走的极限定理。
• 将环境的遍历性和混合性质传递到从行走者视角观察的环境过程。
• 基于反向鞅提出一种新形式化方法，推导行走者位置的集中不等式。
• 证明渐近速度与协方差矩阵对跳跃速率的连续依赖性。
• 基于渐近速度的符号，推导一维情形下的常返与遍历性准则。

提出的方法

• 引入环境的耦合条件，使得初始配置之间的距离衰减速率足够快，满足 $ t^d $ 倍衰减在时间上可积。
• 利用该耦合条件证明环境过程也具有衰减可积的耦合，衰减损失最多为 $ t^d $ 因子。
• 应用非时齐反向鞅的新形式化方法，推导环境过程的泛函的指数矩界与集中不等式。
• 将环境过程确立为马尔可夫过程，并利用其遍历性将行走者的位置分解为鞅与可控的加性泛函。
• 在附录中使用鞅方法证明行走者位置的泛函中心极限定理与方差控制。
• 利用集中不等式推导一维情形下的常返与遍历性结果，取决于渐近速度是否为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种动态环境条件下，环境过程能继承强遍历性与混合性质？
• RQ2 当行走者的位置并非环境过程的标准加性泛函时，如何严格推导其位置的集中不等式？
• RQ3 在动态环境中，随机游走的大数定律与中心极限定理在何种条件下成立？
• RQ4 行走者的渐近速度如何对跳跃速率连续依赖？
• RQ5 在一维情形下，什么决定了行走的常返或遍历性？这如何与环境的混合与遍历性质相联系？

主要发现

• 在耦合条件下，环境过程从环境中继承了遍历性与混合性质，衰减速率最多损失 $ t^d $ 因子。
• 行走者位置满足大数定律，其渐近速度对行走的跳跃速率连续依赖。
• 建立了泛函中心极限定理，其渐近协方差矩阵由环境过程的方差可控导出。
• 证明了爱因斯坦关系，将速度对环境扰动的导数与扩散矩阵相联系。
• 通过反向鞅推导出行走者位置的集中不等式，从而实现一维情形下常返与遍历性的严格结果。
• 在一维情形下，若渐近速度为零，则行走为常返；若速度非零，则行走为遍历，该结论在给定的耦合与遍历性假设下成立。