[论文解读] Limit theorems for random walks on Fuchsian buildings and Kac-Moody groups

Lorenz A. Gilch, Sebastian Mueller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通过利用锥型和强连通自动机构建的更新结构，建立了非平面、高秩的法诺斯建筑物及关联的卡克斯-莫迪群上各向同性随机游走的逃逸速率和中心极限定理。关键贡献在于显式给出了速度和渐近方差的公式，通过截断技术与基于自动机的分析，将平面双曲情形的结果推广至非平面、高秩建筑物。

ABSTRACT

In this paper we prove a rate of escape theorem and a central limit theorem for isotropic random walks on Fuchsian buildings, giving formulae for the speed and asymptotic variance. In particular, these results apply to random walks induced by bi-invariant measures on Fuchsian Kac-Moody groups, however they also apply to the case where the building is not associated to any reasonable group structure. Our primary strategy is to construct a renewal structure of the random walk. For this purpose we define cones and cone types for buildings and prove that the corresponding automata in the building and the underlying Coxeter group are strongly connected. The limit theorems are then proven by adapting the techniques in [21]. The moments of the renewal times are controlled via the retraction of the walks onto an apartment of the building.

研究动机与目标

• 将中心极限定理从双曲与李群情形推广至法诺斯建筑物与卡克斯-莫迪群。
• 为非仿射、非球面型建筑物上的各向同性随机游走建立逃逸速率与中心极限定理。
• 通过锥型与自动机，为建筑物上的随机游走构建更新结构。
• 针对多种考克斯eter群类型，证明关联的卡农自动机的强连通性。
• 通过在坦普拉上截断来控制更新时间的矩，从而实现极限定理。

提出的方法

• 在法诺斯建筑物中定义锥型与锥型类型，以构建更新过程。
• 证明在除少数例外情况外，考克斯eter群上的关联自动机均为强连通。
• 通过将随机游走截断到坦普拉来控制更新时间的矩。
• 将海辛斯基、马蒂厄与缪勒（2013）针对平面曲面群所用技术推广至非平面建筑物。
• 利用考克斯eter群与建筑物的代数与几何性质，分析锥型类型之间的转移。
• 通过路径构造，在四类三角形考克斯eter群中验证自动机的强连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在平面或双曲情形之外的法诺斯建筑物上建立随机游走的中心极限定理？
• RQ2 考克斯eter群满足何种条件时，其锥型自动机为强连通？
• RQ3 如何显式计算建筑物上各向同性随机游走的速度与渐近方差？
• RQ4 源自曲面群的更新理论技术在多大程度上可推广至高秩建筑物？
• RQ5 在坦普拉上的截断在控制更新时间矩方面起到何种作用？

主要发现

• 证明了逃逸速率定理，给出了法诺斯建筑物上各向同性随机游走速度的显式公式。
• 建立了中心极限定理，并给出了游走渐近方差的公式。
• 对于除有限多个例外外，所有三角形类型的考克斯eter群，其关联的卡农自动机均为强连通。
• 通过锥型成功构建了更新结构，从而可应用极限定理技术。
• 将游走截断到坦普拉，实现了对更新时间矩的有效控制。
• 结果不仅适用于由卡克斯-莫迪群生成的建筑物，也适用于无群结构的一般法诺斯建筑物。