[论文解读] Limit Theorems For Sequences of Tempered Stable and Related Distributions

Michael Grabchak|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了扩展的 $p$-调制 $α$-稳定分布类（$ETS^{p}_{α}$），作为 $p$-调制 $α$-稳定分布族在弱收敛下的闭包。它建立了该类中弱收敛的充要条件，并证明了任意 $d$-维 $ETS^{p}_{α}$ 分布可由初等 $p$-调制 $α$-稳定随机向量的线性组合逼近，从而可通过离散和进行模拟。

ABSTRACT

In this paper we define the closure under weak convergence of the class of p-tempered α-stable distributions. We give necessary and sufficient conditions for convergence of sequences in this class. Moreover, we show that any element in this class can be approximated by the distribution of a linear combination of elementary p-tempered α-stable random variables.

研究动机与目标

• 定义并表征包含 $p$-调制 $\alpha$-稳定分布的最小弱收敛闭包类。
• 识别 $TS^{p}_{\alpha}$ 类中序列弱收敛的必要与充分条件。
• 证明每个 $d$-维 $ETS^{p}_{α}$ 分布可由初等 $p$-调制 $\alpha$-稳定随机向量的有限线性组合逼近。
• 将类 $TS^{p}_{\alpha}$ 扩展至 $ETS^{p}_{\alpha}$，以包含具有高斯分量和非衰减尾部行为的极限分布。

提出的方法

• 将 $ETS^{p}_{\alpha}$ 定义为 $TS^{p}_{\alpha}$ 在弱收敛下的闭包，允许包含高斯分量，并放宽对 Rosiński 测度的衰减条件。
• 通过 $\mathbb{R}^d$ 的紧化来分析 Lévy 测度在无穷远和原点处的行为。
• 在紧化空间 $\bar{\mathbb{R}}^d$ 上构造一个测度 $\nu$，以表示 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布的扩展 Rosiński 测度。
• 应用 Portmanteau 定理与控制收敛定理，建立逼近序列 $\mu_n$ 对 $\mu$ 的弱收敛性。
• 利用 Lévy 三元组的特征函数积分表示，分析分布收敛性。
• 证明任意 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布均可作为独立初等 $p$-调制 $\alpha$-稳定随机向量和的弱极限而产生。

实验结果

研究问题

• RQ1 包含 $TS^{p}_{\alpha}$ 且在弱收敛下封闭的最小分布类是什么？
• RQ2 $TS^{p}_{\alpha}$ 分布序列弱收敛的必要与充分条件是什么？
• RQ3 每个 $d$-维 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布是否都能由初等 $p$-调制 $\alpha$-稳定随机变量的线性组合逼近？
• RQ4 当 $\alpha \in (0,2)$ 时，扩展类 $ETS^{p}_{\alpha}$ 与类 $J_{\alpha,p}$ 有何不同？
• RQ5 Rosiński 测度在刻画 $TS^{p}_{\alpha}$ 序列弱极限时起什么作用？

主要发现

• 类 $ETS^{p}_{\alpha}$ 是 $TS^{p}_{\alpha}$ 在弱收敛下的闭包，且当 $\alpha \in (0,2)$ 时，其真包含 $J_{\alpha,p}$。
• $TS^{p}_{\alpha}$ 序列的弱收敛性由其 Rosiński 测度在紧化空间 $\bar{\mathbb{R}}^d$ 上的收敛性所刻画。
• 任意 $d$-维 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布可由独立初等 $p$-调制 $\alpha$-稳定随机向量的有限和的分布逼近。
• 扩展类 $ETS^{p}_{\alpha}$ 包含具有高斯分量的分布，并允许 Rosiński 测度在无穷远处保持非零质量。
• 该逼近结果使得可通过 i.i.d. 初等 $p$-调制 $\alpha$-稳定变量的和来模拟 $ETS^{p}_{\alpha}$ 随机向量。
• 当 $\alpha \leq 0$ 时，$ETS^{p}_{\alpha}$ 与 $J_{\alpha,p}$ 一致；但当 $\alpha \in (0,2)$ 时，有 $J_{\alpha,p} \subsetneq ETS^{p}_{\alpha}$。