[论文解读] Limit Theorems for Some Critical Superprocesses

Yan-Xia Ren, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文在一般条件下建立了临界超过程的极限定理，证明非灭绝概率以 $1/t$ 的速率衰减，且在非灭绝条件下，归一化后的总质量收敛于指数分布；当与属于对偶特征函数正交补空间中的函数联合归一化时，联合极限分布包含一个正态变量。这些结果将经典的分支过程极限定理推广至具有中心极限行为的测度取值超过程。

ABSTRACT

In this paper we establish some conditional limit theorems for some critical superprocesses $X=\{X_t, t\ge 0\}$. First we identify the rate of non-extinction. Then we show that, for a large class of functions $f$, conditioned on non-extinction at time $t$, the limit, as $t o\infty$, of $t^{-1}\langle f, X_t angle$ exists in distribution and we identify this limit. Finally, we also establish, under some conditions, a central limit theorem for $\langle f, X_t angle$ conditioned on non-extinction at time $t$.

研究动机与目标

• 将经典极限定理从离散时间与连续时间分支过程推广至测度取值的临界超过程。
• 建立临界超过程非灭绝概率的精确衰减速率，证明 $\lim_{t\to\infty} t \mathbb{P}_\mu(\|X_t\| \neq 0) = \nu^{-1} \langle \phi_0, \mu \rangle$。
• 推导在非灭绝条件下 $t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ 的条件极限分布，证明其收敛于 $\langle f, \psi_0 \rangle_m W$，其中 $W$ 为参数为 1 的指数分布随机变量。
• 当 $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0$ 时，证明联合中心极限定理，表明其收敛于 $\left(W, G(f)\sqrt{W}\right)$，其中 $G(f) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_f^2)$ 且与 $W$ 独立。

提出的方法

• 利用无穷小生成元 $L$ 的特征函数 $\phi_0$ 及其对偶特征函数 $\psi_0$ 来刻画超过程的长期行为。
• 应用费曼-卡茨公式与拉普拉斯变换，分析在条件概率 $\mathbb{P}_{t,\mu}$（给定 $\|X_t\| \neq 0$）下的矩母函数。
• 利用马尔可夫性质与对偶超过程，分解 $X_t$ 的演化过程，并分析归一化可加泛函的特征函数。
• 通过将积分拆分为主导项与余项，推导特征函数 $\kappa_1(\theta_1, \theta_2, s, t)$ 的渐近展开，其中使用了方差 $V_s(x) = \mathrm{Var}_{\delta_x}\langle f, X_s \rangle$。
• 应用控制收敛定理与一致可积性估计，令 $t \to \infty$ 时取极限，证明特征函数收敛至目标极限。
• 利用 $t^{-1}\langle \widetilde{V}_s, X_t \rangle$ 与 $t^{-1}\langle h(\cdot,s,t), X_t \rangle$ 趋于零的性质，消除展开式中的低阶项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于从有限测度 $\mu$ 出发的临界超过程，其非灭绝概率的精确衰减速率是什么？
• RQ2 当 $t \to \infty$ 时，条件于非灭绝，归一化总质量 $t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ 的行为如何？
• RQ3 当 $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0$ 时，$t^{-1}\langle \phi_0, X_t \rangle$ 与 $t^{-1/2}\langle f, X_t \rangle$ 的联合极限分布为何？
• RQ4 能否在非灭绝条件下的超过程可加泛函中建立中心极限定理？
• RQ5 这些结果如何将经典分支过程的极限定理推广至空间设定下的超过程？

主要发现

• 非灭绝概率的衰减速率满足 $\lim_{t\to\infty} t \mathbb{P}_\mu(\|X_t\| \neq 0) = \nu^{-1} \langle \phi_0, \mu \rangle$，其中 $\nu$ 为正常数，$\phi_0$ 为生成元 $L$ 的第一特征函数。
• 在非灭绝条件下，$t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ 依分布收敛于 $\langle f, \psi_0 \rangle_m W$，其中 $W$ 为参数为 1 的指数分布随机变量。
• 当 $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0$ 时，联合向量 $\left(t^{-1}\langle \phi_0, X_t \rangle, t^{-1/2}\langle f, X_t \rangle\right)$ 依分布收敛于 $\left(W, G(f)\sqrt{W}\right)$，其中 $G(f) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_f^2)$ 且与 $W$ 独立。
• 通过渐近展开与控制收敛定理，建立了归一化可加泛函特征函数的收敛性，且误差项在 $t \to \infty$ 时趋于零。
• 证明依赖于方差过程 $V_s(x)$ 的分解，以及利用对偶特征函数 $\psi_0$ 控制条件下的极限行为。
• 在空间运动与分支机制的普遍可验证条件下，结果成立，将经典分支过程结果推广至超过程。