[论文解读] Limit theorems for supercritical MBPRE with linear fractional offspring distributions

Wenming Hong, Minzhi Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文研究了具有线性分数阶后代分布的随机环境中超临界多类型分支过程（MBPRE）的极限定理，揭示了在强超临界与中等超临界状态之间局部概率的相变现象。通过生成函数表示和随机游走渐近分析，推导出条件极限定理，并量化了超临界状态下罕见事件（如种群规模较小）的衰减速率。

ABSTRACT

We investigate the limit behavior of supercritical multitype branching processes in random environments with linear fractional offspring distributions and show that there exists a phase transition in the behavior of local probabilites of the process affected by strongly and intermediately supercritical regimes. Some conditional limit theorems can also be obtained from the representation of generating functions.

研究动机与目标

• 研究随机环境中超临界多类型分支过程（MBPRE）的局部概率渐近行为。
• 识别在强超临界与中等超临界状态下，罕见事件（如种群规模较小）的概率衰减速率所发生的相变。
• 通过生成函数表示，将单类型BPRE中关于罕见事件概率的结果推广至多类型情形。
• 在具有线性分数阶后代分布的条件下，推导给定过程存活时种群规模分布的条件极限定理。
• 刻画与环境相关随机游走的首次通过事件相关的随机停止时间处种群过程的极限分布。

提出的方法

• 使用线性分数阶后代分布的生成函数来建模随机环境中的分支机制。
• 应用随机游走理论分析与环境相关的随机游走的首次通过时间与局部概率。
• 运用正矩阵的Perron-Frobenius理论分析均值矩阵及其特征向量的渐近行为。
• 通过控制收敛定理与矩估计推导生存概率与条件概率的渐近表达式。
• 引入一个停时 $\tau_{n}$，对应于随机游走首次达到某一水平的时间，并以此事件为条件推导极限定理。
• 使用表示式 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l) \sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$ 来刻画极限条件分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着时问增加，具有线性分数阶后代分布的超临界MBPRE的局部概率如何渐近表现？
• RQ2 在超临界状态下，种群规模较小的概率衰减速率发生了何种相变？
• RQ3 能否为给定过程在时间 $n$ 时以单个粒子存活的条件下，建立种群规模分布的条件极限定理？
• RQ4 后代分布的结构（特别是线性分数阶）如何影响过程的渐近行为？
• RQ5 与环境相关的随机游走的首次通过时间处，种群的极限分布是什么？

主要发现

• 局部概率的衰减速率中存在相变：强超临界与中等超临界状态下的行为有显著差异。
• 条件概率 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z} \mid \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ 随着 $n \to \infty$ 收敛至极限概率测度 $q(\mathbf{z}) = C(\mathbf{z},\mathbf{v}) T(\mathbf{z})$。
• 生存概率以 $\mathbf{P}(L_n \geq 0) \sim n^{-(1-a)} l(n)$ 的形式衰减，其中 $a \in (0,1)$，表明其呈现幂律衰减，受环境尾部行为的影响。
• 联合概率 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ 的渐近表达式为 $\sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$，其中 $\kappa < 1$。
• 极限测度 $q(\mathbf{z})$ 被证明是 $\mathbb{N}_0^K$ 上的正规概率分布，确认了非退化极限分布的存在。
• 环境随机游走对极限的贡献通过期望 $\mathbf{E}_{\mu_k}^+\left[ \frac{(1 - F_{0,k}^{(i)}(\mathbf{F}_{k+1,\infty}(\mathbf{0})))^2}{u_i} \right]$ 表达，该期望出现在渐近表达式中。