[论文解读] Limit Theorems for the Left Random Walk on GLd (R)

Christophe Cuny, Jérôme Dedecker+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文建立了 $GL_d(\mathbb{R})$ 上左随机游走的极限定理，通过在驱动测度 $\mu$ 满足多项式矩条件 $2+\varepsilon$ 且具有强不可约性和拟平移性假设的前提下，将第三作者博士论文中的结果加以扩展，证明了 Marcinkiewicz-Zygmund 大数定律、在 Wasserstein 距离下具有显式速率的中心极限定理，以及具有速率的几乎必然不变原理。关键贡献在于通过改进的鞅逼近技术和耦合论证推导出收敛速率，并利用 Benoist 和 Quint 的工具将结果推广至矩阵系数并放宽拟平移性假设。

ABSTRACT

Motivated by a recent work of Benoist and Quint and extending results from the PhD thesis of the third author, we obtain limit theorems for products of independent and identically distributed elements of GLd (R), such as the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers, the CLT (with rates in Wasserstein's distances) and almost sure invariance principles with rates.

研究动机与目标

• 在多项式矩条件之下，为 $GL_d(\mathbb{R})$ 中独立同分布矩阵乘积建立具有速率的几乎必然不变原理。
• 为矩阵范数的对数在 Wasserstein 距离下的收敛速率，推导出显式收敛速率的中心极限定理。
• 将 Marcinkiewicz-Zygmund 大数定律推广至矩阵乘积的对数范数。
• 在更强的矩假设下，研究矩阵系数 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ 的渐近行为。
• 通过 Benoist 和 Quint 的关键论证，弱化拟平移性假设，将结果推广至非拟平移但强不可约的测度。

提出的方法

• 基于 Jan 的博士论文方法，采用改进的鞅逼近技术，以获得精确的收敛速率。
• 利用上边缘分解，将对数范数表示为鞅与可控可积性的余项之和。
• 通过在射影空间 $X = P_{d-1}(\mathbb{R})$ 上的不变测度 $\nu$ 进行耦合技术，控制随机游走偏离平衡状态的偏差。
• 利用 $X$ 上的距离函数 $\delta$ 衡量角度分离，并将其与内积衰减关联，从而控制矩阵系数的行为。
• 应用 Borel-Cantelli 引理，在 $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ 具有 $L^p$ 可积性的条件下，建立 $\log \delta(W_n, \bar{y})$ 的几乎必然界。
• 借助 Benoist 和 Quint 的结果，通过调整其关于完全收敛性和不变测度可积性的论证，将主要定理推广至非拟平移但强不可约的测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种矩条件与代数条件下，对数范数 $\log\|A_n\|$ 在 Wasserstein 距离下满足具有显式速率的中心极限定理？
• RQ2 在 $2+\varepsilon$ 阶多项式矩条件下，能否为 $\log\|A_n x\|$ 建立具有收敛速率的几乎必然不变原理？
• RQ3 在更强的矩假设下，$\log|\langle A_n x, y \rangle|$ 的渐近行为与 $\log\|A_n x\|$ 的行为有何比较？
• RQ4 在多大程度上可以移除拟平移性假设，同时仍保持矩阵范数与系数的极限定理？
• RQ5 射影空间上的不变测度 $\nu$ 在控制 $GL_d(\mathbb{R})$ 上随机游走的收敛速率方面起何作用？

主要发现

• 在 $2+\varepsilon$ 阶矩条件下，$\log\|A_n x\|$ 满足 Marcinkiewicz-Zygmund 大数定律，且几乎必然收敛速率为 $o(n^{1/p})$，其中任意 $p \in (1,2)$。
• 在 $2+\varepsilon$ 阶矩条件下，$\log\|A_n x\|$ 的中心极限定理在 Wasserstein 距离下具有 $O(n^{-1/2})$ 的收敛速率，优于先前结果。
• 在相同矩条件与代数假设下，为 $\log\|A_n x\|$ 建立了速率 $O(n^{1/2} \log^{1/2} n)$ 的几乎必然不变原理。
• 在 $p+1$ 阶矩条件下（$1 < p \leq 4$），$\log\|A_n\|$ 的结果可推广至矩阵系数 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$，且具有相同的几乎必然收敛速率 $o(n^{1/p})$。
• 通过使用 Benoist 和 Quint 关于完全收敛性与 $\log \delta(\cdot, \cdot)$ 可积性的结果，可在保持强不可约性条件下，从主要定理中移除拟平移性假设。
• 在 $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ 属于 $L^p$ 的条件下，$\log \delta(A_n \bar{x}, \bar{y})$ 的收敛速率被证明为 $o(n^{1/p})$ 几乎必然，这蕴含了对矩阵系数渐近行为的必要控制。