[论文解读] Limit theorems for the typical Poisson-Voronoi cell and the Crofton cell with a large inradius

Pierre Calka, Tomasz Schreiber|Jul 22, 2005

Point processes and geometric inequalities参考文献 35被引用 24

一句话总结

该论文在内切圆半径（以核为中心且完全包含于胞腔内的最大圆的半径）趋于无穷的条件下，建立了典型Poisson-Voronoi胞腔与平面内Crofton胞腔的极限定理。通过与单位圆盘内Poisson过程及凸包的联系，证明了顶点数和内切圆外面积的大数定律与中心极限定理，表明两者渐近地以 r^{2/3} 的速率增长，并给出了明确的常数。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the behavior of the typical Poisson-Voronoi cell in the plane when the radius of the largest disk centered at the nucleus and contained in the cell goes to infinity. We prove a law of large numbers for its number of vertices and the area of the cell outside the disk. Moreover, for the latter, we establish a central limit theorem as well as moderate deviation type results. The proofs deeply rely on precise connections between Poisson-Voronoi tessellations, convex hulls of Poisson samples and germ-grain models in the unit ball. Besides, we derive analogous facts for the Crofton cell of a stationary Poisson line process in the plane.

研究动机与目标

• 研究当内切圆半径 Rm 趋于无穷时，典型Poisson-Voronoi胞腔的渐近行为。
• 推导顶点数与内切圆外面积的精确极限定理，特别是大数定律与中心极限定理。
• 将类似结果推广至由平稳Poisson直线过程生成的Crofton胞腔。
• 建立典型Poisson-Voronoi胞腔在给定内切圆半径条件下的分布与单位圆盘内Poisson过程凸包之间的深层联系。
• 在极端内切圆半径条件下，提供几何泛函的精确渐近估计，超越以往的定性形状极限。

提出的方法

• 将典型Poisson-Voronoi胞腔条件化于事件 {Rm = r}，其中 r 为内切圆半径，并研究由此产生的随机胞腔 Cr。
• 采用耦合构造：胞腔 Cr 的分布等价于由原点与Poisson过程 Φr ∪ {2r·x0} 中点的垂直平分线构成的直线过程的零胞腔，其中 Φr 的强度测度为 1_{|x|>2r} dx。
• 建立 Cr 的顶点数 Nr 与单位圆盘内强度为 4r² 的齐次Poisson点过程的凸包顶点数之间的渐近等价性。
• 利用Groeneboom（2000）关于凸包顶点渐近分布的已知结果，将极限律转移至 Nr。
• 通过Gilbert与Zuyev的方法应用矩估计与指数矩界，控制 Nr 及内切圆外面积的尾部行为。
• 通过映射 I∘h1/r 的变换，将内切圆外面积的分布与单位圆盘内具有变换强度测度的Poisson过程联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当其内切圆半径 r 趋于无穷时，典型Poisson-Voronoi胞腔的顶点数行为如何？
• RQ2 当 r → ∞ 时，胞腔位于内切圆 D(0,r) 外部的面积的渐近分布是什么？
• RQ3 在大内切圆半径条件下，能否为顶点数与内切圆外面积建立中心极限定理？
• RQ4 典型Poisson-Voronoi胞腔的几何性质如何与单位圆盘内Poisson过程的凸包相关联？
• RQ5 在相同内切圆半径条件下，平稳Poisson直线过程的Crofton胞腔是否也满足类似的极限定理？

主要发现

• 在内切圆半径为 r 的条件下，典型Poisson-Voronoi胞腔的顶点数期望 ENr 满足 ENr ∼ a₁r²ᐟ³，其中 a₁ = 4π·3⁻¹ᐟ³Γ(5/3) ≈ 7.86565。
• 归一化顶点数 Nr / (a₁r²ᐟ³) 在 r → ∞ 时依 L¹ 范数收敛于 1，确认了大数定律。
• Nr 满足中心极限定理：(Nr − ENr)/√Var(Nr) 在分布上收敛于标准正态分布，且 Var(Nr) ∼ a₂r²ᐟ³，其中 a₂ 为某常数。
• 胞腔在内切圆外的面积 V₂(Cr ∖ D(0,r)) 满足中心极限定理，且其二阶矩为 r⁴ 阶。
• 对平稳Poisson直线过程的Crofton胞腔，同样建立了类似的渐近结果，包括相同的增长率与极限律。
• 通过Gilbert与Zuyev的方法，利用指数矩界，推导出 Nr 与内切圆外面积的矩估计，表明 E[exp(λNr)] = O(exp(Kr²)) 与 E[exp(λV₂)] = O(exp(Kr²)) 对某些 λ, K > 0 成立。