[论文解读] Limit theorems of Chatterjee's rank correlation

Zhexiao Lin, Han Fang|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2022

Advanced Statistical Methods and Models被引用 4

一句话总结

本文在一般条件下建立了查特吉等级相关系数与阿扎德基亚-查特吉图基相关系数的渐近正态性，证明只要Y不是X的可测函数，这两种统计量均渐近正态。此外，本文证明渐近方差 uniformly 有界于36，并提供了具一致性的一致方差估计量，从而解决了非参数依赖度量领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Establishing the limiting distribution of Chatterjee's rank correlation for a general, possibly non-independent, pair of random variables has been eagerly awaited by many. This paper shows that (a) Chatterjee's rank correlation is asymptotically normal as long as one variable is not a measurable function of the other, (b) the corresponding asymptotic variance is uniformly bounded by 36, and (c) a consistent variance estimator exists. Similar results also hold for Azadkia-Chatterjee's graph-based correlation coefficient, a multivariate analogue of Chatterjee's original proposal. The proof is given by appealing to Hájek representation and Chatterjee's nearest-neighbor CLT.

研究动机与目标

• 在Y不是X的可测函数的条件下，建立查特吉等级相关系数在一般非独立同分布二元数据下的极限分布。
• 在弱依赖假设下，解决查特吉与阿扎德基亚-查特吉相关系数渐近分布推导的开放问题。
• 为这些相关度量的渐近方差提供一致估计量，使实际推断成为可能。
• 将理论结果扩展至阿扎德基亚与查特吉提出的多变量图基相关系数。
• 建立渐近方差的统一有界性，上界为36，确保在各种依赖结构下保持稳定性。

提出的方法

• 使用哈杰克表示法，将相关系数统计量表示为独立同分布的U-统计量类项之和，从而可应用中心极限定理（CLT）。
• 应用查特吉的最近邻中心极限定理，处理高维设置中由最近邻索引引发的依赖性。
• 推导出一个一致方差估计量，记为 $ \tfrac{1}{n^3} \text{rank-based terms 的和} $，该估计量考虑了最近邻结构与结 ties 的影响。
• 采用对称化与埃夫龙-斯坦不等式，控制给定设计点 $ X_i $ 的条件期望的方差。
• 引入反事实潜在结果框架，使用 $ \tilde{X}_i, \tilde{Y}_i $ 以解耦等级与设计点之间的依赖性。
• 使用条件期望 $ \text{E}[F_Y(Y_1 \bigwedge \tilde{Y}_1) \big| X_1] $ 作为关键构建模块，以表示渐近方差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Y不是X的可测函数时，查特吉等级相关系数是否渐近正态？
• RQ2 查特吉与阿扎德基亚-查特吉相关系数的渐近方差是多少？是否统一有界？
• RQ3 能否为这些基于等级的相关度量构造一致方差估计量？
• RQ4 渐近正态性是否在一般依赖结构下成立，包括X与Y相关时？
• RQ5 最近邻结构如何影响相关系数估计量的渐近分布？

主要发现

• 在Y不是X的可测函数的条件下，查特吉等级相关系数 $ \bar{\theta}_n $ 渐近正态，其分布收敛于标准正态变量。
• 只要Y不是X的可测函数，$ \bar{\theta}_n $ 的渐近方差统一有界于36，且不依赖于 $ (X,Y) $ 的底层分布。
• 推导出渐近方差的一致估计量 $ \tilde{\tau}^2 $，其仅依赖于数据的等级与最近邻索引。
• 阿扎德基亚-查特吉图基相关系数同样满足渐近正态性与方差界，结果可推广至多变量设置。
• 证明表明，基于等级的统计量的条件期望与其近似值之间的差异以概率收敛于零，从而验证了哈杰克表示法的正确性。
• 方差估计量 $ \tilde{\tau}^2 $ 显式构造为涉及 $ R_i \bigwedge R_{N(i)} $、最近邻索引与等级顺序指示函数的基于等级的U-统计量类项。