[论文解读] Limitations of some simple adiabatic quantum algorithms

Lawrence M. Ioannou, Michele Mosca|ArXiv.org|Feb 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过证明，若要使绝热量子算法在量子比特数量上实现次指数时间运行，初始哈密顿量 $ H_0 $（在哈达玛基下对角）和最终哈密顿量 $ H_1 $（在计算基下对角）各自必须至少具有两个大且相互正交的本征子空间。该工作通过限制初始哈密顿量为哈达玛基下的对角形式，强化了Farhi与Gutmann的最优性结果，表明没有任何此类哈密顿量能优于均匀叠加初始态来求解搜索问题。

ABSTRACT

Let $H(t)=(1-t/T)H_0 + (t/T)H_1$, $t\in [0,T]$, be the Hamiltonian governing an adiabatic quantum algorithm, where $H_0$ is diagonal in the Hadamard basis and $H_1$ is diagonal in the computational basis. We prove that $H_0$ and $H_1$ must each have at least two large mutually-orthogonal eigenspaces if the algorithm's running time is to be subexponential in the number of qubits. We also reproduce the optimality proof of Farhi and Gutmann's search algorithm in the context of this adiabatic scheme; because we only consider initial Hamiltonians that are diagonal in the Hadamard basis, our result is slightly stronger than the original.

研究动机与目标

• 识别简单绝热量子算法的结构性限制，这些限制导致其无法实现次指数时间运行。
• 分析 $ H_0 $ 和 $ H_1 $ 的本征子空间结构在实现高效绝热演化中的作用。
• 通过限制初始哈密顿量为哈达玛基下的对角形式，强化Farhi与Gutmann在连续时间量子搜索中的最优性结果。
• 在对初始哈密顿量假设最少的前提下，建立绝热算法运行时间的一般下界。

提出的方法

• 作者使用时间依赖的哈密顿量 $ H_{\textrm{gen}}(t) = (1-s(t))H_0 + s(t)H_1 $ 建模绝热演化，其中 $ s(t) $ 是从 0 到 1 的光滑递增函数。
• 通过计算空间的划分定义 $ H_0 $ 和 $ H_1 $，其中 $ H_0 $ 在哈达玛基下对角，$ H_1 $ 在计算基下对角。
• 分析基于薛定谔方程，追踪演化态与初始均匀叠加态之间重叠的演化速率。
• 应用柯西-施瓦茨不等式来限制从初始态泄漏的振幅速率，从而导出所需演化时间 $ T $ 的下界。
• 作者推导出 $ |\langle u|\psi(T)\rangle|^2 $ 的界，表明除非 $ T $ 指数大，否则该值无法衰减过快。
• 通过对称性，类似论证应用于最终哈密顿量，证明 $ H_0 $ 和 $ H_1 $ 必须同时具有大且相互正交的本征子空间，才能实现次指数时间运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ H_0 $ 和 $ H_1 $ 条件下，绝热量子算法可实现次指数时间运行？
• RQ2 是否存在任何在哈达玛基下对角的初始哈密顿量，能优于均匀叠加初始态来求解搜索问题？
• RQ3 为实现高效绝热演化，$ H_0 $ 和 $ H_1 $ 的第二大本征子空间的最小尺寸是多少？
• RQ4 $ H_0 $ 或 $ H_1 $ 的最大本征子空间维度如何影响运行时间的下界？

主要发现

• 若 $ H_0 $ 的最大本征子空间较小，则绝热算法需要指数时间 $ T $ 才能以高概率获得解。
• 类似地，若 $ H_1 $ 的最大本征子空间较小，则算法同样需要指数时间 $ T $。
• 为实现次指数时间运行，$ H_0 $ 和 $ H_1 $ 必须各自至少具有两个大且相互正交的本征子空间。
• 推导出的界 $ |\langle w|\psi_B(T)\rangle|^2 \leq \frac{2E_1T}{\sqrt{N}} + \frac{1}{\sqrt{N}} $ 表明，为实现高成功概率，$ T $ 必须指数大。
• 该结果通过证明在哈达玛基下对角的任何哈密顿量都无法优于均匀初始态，从而强化了Farhi与Gutmann的最优性证明。
• 分析表明，$ H_0 $ 和 $ H_1 $ 的第二大本征子空间维度是决定算法复杂度的关键因素。