[论文解读] Limited packings of closed neighbourhoods in graphs

Paul Balister, Béla Bollobás+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文为立方图中的2-受限包数 $L_2(G)$ 建立了紧致的下界，证明了 $L_2(G) \geq |V(G)|/3$，该结果优于先前的 $1/4$ 下界。进一步地，通过利用有限射影平面构造极值图，表明当固定 $k$ 且最大度 $Δ$ 增长时，现有渐近下界在常数因子意义下是紧致的；并应用Lovász局部引理，当 $k$ 和 $Δ$ 均快速增长时，推导出近乎最优的下界。

ABSTRACT

The k-limited packing number, $L_k(G)$, of a graph $G$, introduced by Gallant, Gunther, Hartnell, and Rall, is the maximum cardinality of a set $X$ of vertices of $G$ such that every vertex of $G$ has at most $k$ elements of $X$ in its closed neighbourhood. The main aim in this paper is to prove the best-possible result that if $G$ is a cubic graph, then $L_2(G) \geq |V (G)|/3$, improving the previous lower bound given by Gallant, \emph{et al.} In addition, we construct an infinite family of graphs to show that lower bounds given by Gagarin and Zverovich are asymptotically best-possible, up to a constant factor, when $k$ is fixed and $Δ(G)$ tends to infinity. For $Δ(G)$ tending to infinity and $k$ tending to infinity sufficiently quickly, we give an asymptotically best-possible lower bound for $L_k(G)$, improving previous bounds.

研究动机与目标

• 为立方图中的2-受限包数 $L_2(G)$ 建立最佳可能的下界。
• 分析当 $k$ 固定且 $\Delta(G) \to \infty$ 时，现有 $L_k(G)$ 下界在渐近意义下的紧致性。
• 当 $k$ 和 $\Delta(G)$ 均趋于无穷大时，利用概率技术改进 $L_k(G)$ 的渐近下界。
• 建立受限包数与正则图中支配参数之间的关系，特别是通过与 $\ell$-元支配集的对偶性。

提出的方法

• 通过结构和极值论证，证明对任意立方图 $G$，有 $L_2(G) \geq |V(G)|/3$，且在某一特定无穷图族中取等，从而实现紧致性。
• 基于有限射影平面构造一个无穷图族，以证明当 $k$ 固定且 $\Delta \to \infty$ 时，Gagarin-Zverovich 对 $L_k(G)$ 的下界在常数因子意义下是紧致的。
• 应用对称的Lovász局部引理，当 $k > \log \Delta \log \log \Delta$ 且 $\Delta \to \infty$ 时，推导出 $L_k(G)$ 的新渐近下界，表明 $L_k(G) \geq \frac{k|V(G)|}{\Delta}(1+o(1))$。
• 利用Chernoff不等式对随机选取的顶点集形成 $k$-受限包数的概率进行估计，结合独立性条件与尾部概率界。
• 利用正则图中 $k$-受限包数与 \/ell$-元支配集之间的对偶性，将结果转化为支配理论中的结论。
• 分析由射影几何中的点与直线构成的图 $G_{q,k}$ 中 $k$-受限包数的极值情形，证明 $L_k(G_{q,k}) = k$，且 $|V(G_{q,k})| \sim \frac{q^{k+1}}{q-1}$，$\Delta(G_{q,k}) \sim \frac{q^k}{q-1}$，从而得到 $L_k(G_{q,k}) \sim \frac{k|V(G_{q,k})|}{\Delta(G_{q,k})^{1+1/k}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 立方图中 $L_2(G)$ 的最佳可能下界是什么？该下界是否紧致？
• RQ2 当 $k$ 固定且 $\Delta(G) \to \infty$ 时，现有 $L_k(G)$ 的渐近下界有多紧？
• RQ3 当 $k$ 和 $\Delta(G)$ 均趋于无穷大时，能否建立改进的 $L_k(G)$ 渐近下界？
• RQ4 正则图中 $k$-受限包数与 $\ell$-元支配集之间存在何种关系？
• RQ5 已知的 $L_k(G)$ 下界是否渐近最优？若是，其最优性在常数因子意义下可达到多大？

主要发现

• 对任意立方图 $G$，2-受限包数满足 $L_2(G) \geq |V(G)|/3$，且该下界为最佳可能，已通过显式构造予以证明。
• Gagarin与Zverovich提出的下界 $L_k(G) \geq n \frac{k}{(k+1)\sqrt[k]{\binom{\Delta}{k}(\Delta+1)}}$ 在 $k$ 固定且 $\Delta \to \infty$ 时，渐近意义下紧致至常数因子，该结论通过构造无穷极值图族得以验证。
• 当 $k > \log \Delta \log \log \Delta$ 时，Lovász局部引理给出渐近最优下界 $L_k(G) \geq \frac{k|V(G)|}{\Delta}(1+o(1))$，适用于最大度为 $\Delta$ 的图，且该下界在低阶项意义下为紧致。
• $\Delta$-正则图中，下界 $L_k(G) \geq \frac{k|V(G)|}{\Delta}(1+o(1))$ 为渐近最优，该结论通过与 $\ell$-元支配的对偶性及已知上界 $L_k(G) \leq \frac{k|V(G)|}{\delta(G)+1}$ 得到验证。
• 在由射影几何构造的图 $G_{q,k}$ 中，有 $L_k(G_{q,k}) = k$，且 $|V(G_{q,k})| \sim \frac{q^{k+1}}{q-1}$，$\Delta(G_{q,k}) \sim \frac{q^k}{q-1}$，从而得到 $L_k(G_{q,k}) \sim \frac{k|V(G_{q,k})|}{\Delta(G_{q,k})^{1+1/k}}$，表明下界 $L_k(G) \geq \frac{k|V(G)|}{\Delta^{1+1/k}}$ 在常数因子意义下为紧致。
• 本文解决了Gallant等人对立方图中 $L_2(G)$ 的 $1/4$ 下界的紧致性问题，将其替换为最优的 $1/3$ 下界，并通过与对偶性关系，为立方图中的2-元支配集提供了新的上界。