[论文解读] Limiting behavior of large correlated Wishart matrices with chaotic entries

Solesne Bourguin, Charles-Philippe Diez+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用 16

一句话总结

本论文利用Malliavin微积分与Stein方法，研究了具有非高斯、混沌性输入的大维相关Wishart矩阵的极限分布。研究结果表明，任意Wiener混沌中的i.i.d.输入收敛至Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE)，而具有长程依赖性的二阶混沌输入则收敛至非高斯对角矩阵，且对两种情形均给出了收敛速率的显式Wasserstein距离界。

ABSTRACT

We study the fluctuations, as $d,n\ o \\infty$, of the Wishart matrix $\\mathcal{W}_{n,d}= \\frac{1}{d} \\mathcal{X}_{n,d} \\mathcal{X}_{n,d}^{T} $ associated to a $n\ imes d$ random matrix $\\mathcal{X}_{n,d}$ with non-Gaussian entries. We analyze the limiting behavior in distribution of $\\mathcal{W}_{n,d}$ in two situations: when the entries of $\\mathcal{X}_{n,d}$ are independent elements of a Wiener chaos of arbitrary order and when the entries are partially correlated and belong to the second Wiener chaos. In the first case, we show that the (suitably normalized) Wishart matrix converges in distribution to a Gaussian matrix while in the correlated case, we obtain its convergence in law to a diagonal non-Gaussian matrix. In both cases, we derive the rate of convergence in the Wasserstein distance via Malliavin calculus and analysis on Wiener space.

研究动机与目标

• 将经典随机矩阵理论推广至具有任意Wiener混沌输入的非高斯、高维Wishart矩阵。
• 分析当输入具有依赖性且属于具有长程依赖性的二阶Wiener混沌时，Wishart矩阵的极限行为。
• 推导归一化Wishart矩阵收敛至极限分布的Wasserstein距离下的显式收敛速率。
• 通过引入混沌结构与长程依赖性，将现有随机矩阵理论中的中心极限定理结果推广至i.i.d.高斯或对数凹输入之外的情形。
• 应用Malliavin微积分与Stein方法，在高维情形下建立收敛性与收敛速率估计。

提出的方法

• 使用多重随机积分与多重Wiener-Ito混沌展开来建模非高斯矩阵输入。
• 在Wiener空间上应用Malliavin微积分，以计算Stein方法中正态近似所需的界。
• 采用Wasserstein距离量化归一化Wishart矩阵收敛至其极限的速率。
• 分析两种情形：任意Wiener混沌中i.i.d.输入（收敛至GOE）与来自二阶混沌的相同样本（收敛至非高斯对角矩阵）。
• 利用分数布朗运动与Rosenblatt过程表示，推导长程依赖结构的显式界。
• 结合Hermite矩与协方差结构的渐近分析，以$ n $与$ d $表示收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当大维Wishart矩阵的输入为有限阶任意Wiener混沌的i.i.d.元素时，其极限分布为何？
• RQ2 当输入具有相关性且属于具有长程依赖性的二阶Wiener混沌时，极限行为如何变化？
• RQ3 在高维情形下，归一化Wishart矩阵收敛至其极限分布的Wasserstein距离收敛速率为何？
• RQ4 Malliavin微积分与Stein方法能否有效用于推导非高斯、依赖性Wishart矩阵的收敛速率？
• RQ5 Hurst参数$ H $在长程依赖输入情形下如何影响收敛速率？

主要发现

• 当输入为任意Wiener混沌中有限阶的i.i.d.元素时，归一化Wishart矩阵依分布收敛至Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE)。
• 当输入属于具有长程依赖性的二阶Wiener混沌时，极限矩阵为对角且非高斯，其特征由Hurst参数$ H \in (1/2, 1) $的Rosenblatt过程决定。
• Wasserstein距离下的收敛速率界为：当$ H \in (1/2, 3/4) $时为$ C n d^{1/2 - H} $，当$ H = 3/4 $时为$ C n \sqrt{\log d} \, d^{-1/4} $，当$ H \in (3/4, 1) $时为$ C n d^{H - 1} $。
• 随着$ H \to 1 $，收敛速率下降，反映出输入中更强的依赖性。
• 分析结果确认，当相关性足够强时，极限分布为非高斯，与i.i.d.情形下的高斯极限形成对比。
• Malliavin微积分的应用使得即使在非高斯与依赖性设定下，也能精确计算Wasserstein距离界。