[论文解读] Limiting distribution and error terms for the number of visits to balls in non-uniformly hyperbolic dynamical systems

Nicolai Haydn, K Wasilewska|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于具有多项式相关衰减的非一致双曲动力系统（如存在Young塔构造的系统），当小度量球的半径趋于零时，进入这些球的访问次数在极限下收敛于泊松分布。收敛速率由 |log ρ| 的负幂次控制，且误差项在测度为 O(|log ρ|^{-κ′}) 的小例外集合之外保持一致有界。

ABSTRACT

We show that for systems that allow a Young tower construction with polynomially decaying correlations the return times to metric balls are in the limit Poisson distributed. We also provide error terms which are powers of logarithm of the radius. In order to get those uniform rates of convergence the balls centres have to avoid a set whose size is estimated to be of similar order. This result can be applied to non-uniformly hyperbolic maps and to any invariant measure that satisfies a weak regularity condition. In particular it shows that the return times to balls is Poissonian for SRB measures on attractors.

研究动机与目标

• 建立非一致双曲动力系统中，小度量球访问次数的极限泊松分布。
• 量化收敛到泊松分布的速率，以球半径的对数形式提供显式的误差界。
• 识别并控制例外集合的大小——即具有极短返回时间或几何不规则性的中心——其测度以 |log ρ| 的幂次衰减。
• 将泊松逼近结果从一致双曲或指数混合系统推广至具有多项式相关衰减的系统。
• 将结果应用于吸引子上的SRB测度及其他通过Young塔构造得到的不变测度。

提出的方法

• 利用Young塔构造来建模具有多项式相关衰减的非一致双曲系统。
• 应用Chen-Stein方法对依赖的伯努利过程进行泊松逼近，以计数进入球的访问次数。
• 引入一个禁止集合（Xρ, Vρ, 和 Erho）以排除具有极短返回时间或几何不规则性的点。
• 通过矩界和混合估计控制访问计数过程中依赖结构的影响。
• 通过泊松逼近定理（定理7.1）推导误差界，将访问次数与泊松分布之间的总变差距离与相关衰减和依赖参数联系起来。
• 使用几何与概率论证估计例外集合的测度，表明其以 |log ρ| 的幂次衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非一致双曲系统中，当度量球半径趋于零时，进入这些球的访问次数是否收敛于泊松分布？
• RQ2 收敛到泊松极限的速率是多少？是否能在所有球心上一致有界？
• RQ3 泊松逼近失效的中心集合有多大？其测度能否被定量控制？
• RQ4 该结果能否推广到除SRB测度外的其他不变测度，只要它们满足一定的正则性条件？
• RQ5 极短返回时间在多大程度上会破坏泊松极限？如何在分析中将其排除？

主要发现

• 当 ρ → 0 时，半径为 ρ 的度量球的访问次数在分布上收敛于泊松( t )分布，且在小例外集合之外保持一致收敛。
• 泊松逼近的误差被控制在 C |log ρ|^{-κ} 以内，其中 κ > 0，且当 λ > 9 时，有 κ < (λ - 7)/4。
• 具有极短返回时间的中心集合（Vρ）的测度被控制在 O(|log ρ|^{-κ′}) 以内，其中 κ′ < (λ - 4)/2。
• 在假设 λ > 9 的条件下，例外集合 Xρ ∪ Vρ ∪ Erho 的测度为 O(|log ρ|^{-(λ-9)/4})。
• 该结果适用于吸引子上的SRB测度，以及任何具有多项式衰减的Young塔构造的不变测度。
• 收敛速率慢于指数混合情形，反映出系统中相关衰减速度较慢。