[论文解读] Limiting laws associated with Brownian motion perturbed by its maximum, minmum and local time II

Bernard Roynette, Pierre Vallois+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了对局部时、最大值、最小值或下穿次数扰动的布朗运动的惩罚原理，证明了时间改变测度的弱收敛性，其极限分布满足路径分解。在正Borel函数 $ f $ 的适当条件下，$ f(X_t, A_t) $ 的归一化期望收敛于一个基于鞅的测度 $ Q_0^f $，其分布描述了布朗运动在时间 $ g $ 处的路径分解，其中 $ g $ 是 $ A_t $ 达到其上确界的最后时刻。

ABSTRACT

We obtain probability measures on the canonical space penalizing the Wiener measure by a function of its maximum (resp. minimum, local time). We study the law of the canonical process under these new probability measures.

研究动机与目标

• 将惩罚理论扩展至受其最大值、最小值、局部时或下穿次数扰动的布朗运动。
• 建立时间改变概率测度 $ Q_{0,t}^F $ 沿 $ t \to \infty $ 弱收敛于极限测度 $ Q_0^f $。
• 刻画在测度 $ Q_0^f $ 下布朗运动的分布，特别是通过在时间 $ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $ 处的路径分解。
• 推导极限扩散过程在 $ Q_0^f $ 下的不变密度的显式表达式，尤其关注在零点局部时的情形。

提出的方法

• 利用一个元定理（定理1.1），在半群 $ \Lambda_t $ 和函数 $ C(s,y) $ 的可积性条件下，确保 $ Q_{x_0,t}^F $ 收敛于 $ Q_{x_0}^M $。
• 通过极限 $ \lim_{t\to\infty} \Lambda_{t-s}(f)(y)/\Lambda_t(f)(y_0) $ 构造一个 $ P_0 $-鞅 $ M_s^f $，并保证 a.s. 有 $ M_0^f = 1 $。
• 将布朗运动路径分解为两部分：$ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ 和 $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $，在给定 $ A_\infty $ 的条件下，其分布由 $ Q_0^f $ 条件化描述。
• 通过求解由过程生成元导出的边界条件的二阶常微分方程，推导极限扩散过程的不变密度 $ g(x) $。
• 应用Feynman-Kac公式与指数倾斜法，计算涉及 $ e^{cL_t^0} $ 的期望，从而得到 $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ 的精确渐近行为。
• 将结果推广至具有 $ n $ 条射线的Walsh布朗运动，得到矩收敛的临界阈值 $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ t \to \infty $ 时，由归一化 $ f(X_t, A_t) $ 定义的测度 $ Q_{0,t}^F $ 在何种条件下弱收敛？
• RQ2 在极限测度 $ Q_0^f $ 下，布朗运动的分布是什么，特别是关于在时间 $ g $ 处的路径分解？
• RQ3 极限扩散过程的不变密度如何依赖于函数 $ f $ 和过程 $ A_t $ ？
• RQ4 当 $ t \to \infty $ 时，$ E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ 的精确渐近行为是什么？
• RQ5 惩罚框架能否推广至Walsh布朗运动？矩收敛的指数参数临界值是多少？

主要发现

• 在集合 $ \{(S_t), (S_t,t), (L_t^0), (S_t,I_t,L_t^0), (D_t)\} $ 的前三个元素中，有 $ Q_0^f(A_\infty < \infty) = 1 $，且 $ Q_0^f(0 < g < \infty) = 1 $，其中 $ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $。
• 在给定 $ A_\infty $ 的条件下，$ Q_0^f $ 下 $ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ 的分布是一个具有特定生成元的时间改变扩散过程。
• 在给定 $ A_\infty $ 的条件下，$ Q_0^f $ 下 $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $ 的分布是一个具有不变密度 $ g(x) = \frac{3}{(a+b)a^2b^2} \left[ b^2(a-x)^2 \mathbf{1}_{\{0<x<a\}} + a^2(b+x)^2 \mathbf{1}_{\{-b<x<0\}} \right] $ 的扩散过程。
• 极限 $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] = \frac{3}{2} $，其中 $ c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $，且该值仅在临界点时为有限。
• 当 $ \alpha > c $ 时，极限为 $ \infty $；当 $ \alpha < c $ 时，极限为 $ 0 $，表明在 $ \alpha = c $ 处存在尖锐相变。
• 对于具有 $ n $ 条射线和参数 $ (p_i) $ 的Walsh布朗运动，$ E[e^{\alpha L_t^0} \prod_{i=1}^n 1_{\{S_t^i \leq a_i\}}] $ 的极限为：当 $ \alpha < c $ 时为 $ 0 $，当 $ \alpha = c $ 时为 $ \frac{3}{2} $，当 $ \alpha > c $ 时为 $ \infty $，其中 $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $。