[论文解读] Limiting spectral distribution for non-Hermitian random matrices with a variance profile

Nicholas A. Cook, Walid Hachem+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 48被引用 6

一句话总结

本文通过主方程系统描述确定性极限测度，建立了具有确定性方差分布的非厄米随机矩阵的极限谱分布。即使某些方差为零，在满足定量不可约性条件的前提下，本文证明了经验谱测度弱收敛于该极限，从而将圆律推广至双随机方差分布的情形。

ABSTRACT

For each $n$, let $A_n=(\sigma_{ij})$ be an $n imes n$ deterministic matrix and let $X_n=(X_{ij})$ be an $n imes n$ random matrix with i.i.d. centered entries of unit variance. We are interested in the asymptotic behavior of the empirical spectral distribution $\mu_n^Y$ of the rescaled entry-wise product \[ Y_n = \left(\frac1{\sqrt{n}} \sigma_{ij}X_{ij} ight). \] For our main result, we provide a deterministic sequence of probability measures $\mu_n$, each described by a family of Master Equations, such that the difference $\mu^Y_n - \mu_n$ converges weakly in probability to the zero measure. A key feature of our results is to allow some of the entries $\sigma_{ij}$ to vanish, provided that the standard deviation profiles $A_n$ satisfy a certain quantitative irreducibility property. Examples are also provided where $\mu_n^Y$ converges to a genuine limit. As an application, we extend the circular law to a class of random matrices whose variance profile is doubly stochastic.

研究动机与目标

• 表征具有确定性方差分布的非厄米随机矩阵的极限谱分布。
• 分析随机矩阵与确定性矩阵逐元素乘积的缩放版本的经验谱分布的渐近行为。
• 建立经验测度弱收敛于由主方程描述的确定性极限的证明。
• 即使某些条目方差为零，也将圆律推广至方差分布为双随机的矩阵。

提出的方法

• 定义缩放矩阵 $ Y_n = \left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sigma_{ij} X_{ij}\right) $，其中 $ X_{ij} $ 为独立同分布的中心化条目，方差为1。
• 引入一个由方差分布 $ A_n = (\sigma_{ij}) $ 导出的主方程族所定义的确定性概率测度序列 $ \mu_n $。
• 对方差分布 $ A_n $ 强制施加一个定量不可约性条件，以确保主方程有唯一解，且极限测度定义良好。
• 使用概率与分析技术，证明差值 $ \mu_n^Y - \mu_n $ 以概率弱收敛于零。
• 将该框架应用于方差分布为双随机的情形，证明在相同条件下收敛于圆律。
• 构造显式例子，其中 $ \mu_n^Y $ 收敛于非平凡的、确定性的极限，从而验证理论框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有方差分布的非厄米随机矩阵的经验谱分布会以概率弱收敛于确定性极限？
• RQ2 当方差分布的某些条目为零时，极限谱分布如何表征？
• RQ3 方差分布的定量不可约性在确保极限测度的存在性与唯一性方面起什么作用？
• RQ4 即使存在零方差条目，能否将圆律推广至方差分布为双随机的随机矩阵？
• RQ5 主方程如何通过方差分布和矩阵规模描述极限谱分布？

主要发现

• 缩放矩阵 $ Y_n $ 的经验谱分布 $ \mu_n^Y $ 以概率弱收敛于由主方程系统表征的确定性测度 $ \mu_n $。
• 即使某些 $ \sigma_{ij} = 0 $，只要方差分布 $ A_n $ 满足定量不可约性条件，该收敛性依然成立。
• 极限测度 $ \mu_n $ 由方差分布和主方程唯一确定，确保了谱分布的稳定性和可预测性。
• 对于双随机方差分布，极限谱分布收敛于单位圆盘上的均匀分布，从而推广了经典圆律。
• 构造了显式例子，其中 $ \mu_n^Y $ 收敛于非圆、非均匀的极限，证明了该框架的普遍性。
• 差值 $ \mu_n^Y - \mu_n $ 以概率弱收敛于零测度，证实了极限的确定性特征。