[论文解读] Limits of bimorphic lenses

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文证明了当基范畴为完备、余完备且笛卡尔闭时，双态镜头的范畴是完备的，从而为对称多态镜头的构建提供了基础。关键贡献在于使用基范畴中的拉回与上推，形式化构造了双态镜头范畴中的拉回，这支持了在组合博弈论中发展开博弈的紧致闭范畴。

ABSTRACT

Bimorphic lenses are a simplification of polymorphic lenses that (like polymorphic lenses) have a type defined by 4 parameters, but which are defined in a monomorphic type system (i.e. an ordinary category with finite products). We show that the category of bimorphic lenses is complete when the base category is complete, cocomplete and cartesian closed, and so symmetric bimorphic lenses can be defined as spans of ordinary bimorphic lenses. This is in contrast to monomorphic lenses, which do not have pullbacks, and for which the category of spans can be defined in an ad-hoc way only when the lenses satisfy a certain axiom (the put-get law). This is a step towards a theory of symmetric polymorphic lenses. Bimorphic lenses additionally play an essential role in compositional game theory, and spans of bimorphic lenses are a step towards a compact closed category of open games.

研究动机与目标

• 在基范畴满足适当条件时，建立双态镜头范畴的完备性。
• 通过构造双态镜头的并置，为对称多态镜头提供范畴论基础。
• 利用双态镜头支持在组合博弈论中发展开博弈的紧致闭范畴。
• 通过在单态类型系统中引入双态镜头作为中间形态，弥合单态镜头与多态镜头之间的鸿沟。
• 形式化双态镜头在博弈论语义学中的作用，并为多态镜头理论的未来工作奠定基础。

提出的方法

• 在具有有限积的范畴 $ \mathcal{C} $ 中，将双态镜头定义为一对态射：视图函数 $ v_\lambda: S \to A $ 和更新函数 $ u_\lambda: S \times B \to T $。
• 构造范畴 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $，其中对象对为类型，双态镜头为态射。
• 证明当 $ \mathcal{C} $ 为完备、余完备且笛卡尔闭时，$ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 是完备的。
• 使用 $ \mathcal{C} $ 中视图分量的拉回与更新分量的上推，构造 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 中的拉回。
• 将双态镜头的并置定义为依赖于拉回的构造，从而支持对称复合。
• 利用拉回与上推的普遍性质，证明所得到镜头结构的唯一性与交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基范畴的合理条件下，能否证明双态镜头范畴是完备的？
• RQ2 如何以支持对称复合与紧致闭结构的方式构造双态镜头的并置？
• RQ3 双态镜头在实现对称多态镜头理论中扮演何种角色？
• RQ4 双态镜头如何支持在组合博弈论中为开博弈构造紧致闭范畴？
• RQ5 哪些范畴构造（如拉回、上推）是定义双态镜头范畴中并置的必要且充分条件？

主要发现

• 当 $ \mathcal{C} $ 为完备、余完备且笛卡尔闭时，范畴 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 是完备的。
• 在 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 中的拉回通过 $ \mathcal{C} $ 中视图态射的拉回与更新态射的上推来构造。
• 余锥 $ \lambda: \binom{S}{T} \to \binom{A}{B} \leftarrow \binom{S'}{T'}: \lambda' $ 的拉回为 $ \binom{S \times_A S'}{T +_{(S \times_A S') \times B} T'} $，其中 $ S \times_A S' $ 是 $ v_\lambda $ 与 $ v_{\lambda'} $ 的拉回，第二部分为上推。
• 拉回的普遍性质确保了诱导镜头的唯一性，视图与更新态射通过普遍态射及余极限保持性构造。
• 在 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 中构造并置是良好定义且范畴论化的，避免了单态镜头范畴中使用的临时定义。
• 该结果支持了长期目标：利用双态镜头的并置构造开博弈的紧致闭范畴。