[论文解读] Limits of Preprocessing

Filmus, Yuval, Ishai, Yuval+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文证明，任意函数 f: F_q^n → F_q 均可导出一个 q^n × q^n 的矩阵 M(x,y) = f(x+y)，该矩阵在 Valiant 的算术电路下界程序中不够刚性。利用 Croot-Lev-Pach 引理，证明此类矩阵可通过仅改变 N^ε 个条目的低秩矩阵（秩为 N^{1−ε′}）近似，表明这些矩阵不足以用于证明有限域上的强电路下界。

ABSTRACT

It is a classical result that the inner product function cannot be computed by an AC⁰ circuit [Merrick L. Furst et al., 1981; Miklós Ajtai, 1983; Johan Håstad, 1986]. It is conjectured that this holds even if we allow arbitrary preprocessing of each of the two inputs separately. We prove this conjecture when the preprocessing of one of the inputs is limited to output n + n/(log^{ω(1)} n) bits. Our methods extend to many other functions, including pseudorandom functions, and imply a (weak but nontrivial) limitation on the power of encoding inputs in low-complexity cryptography. Finally, under cryptographic assumptions, we relate the question of proving variants of the main conjecture with the question of learning AC⁰ under simple input distributions.

研究动机与目标

• 研究形式为 M(x,y) = f(x+y)（其中 f: F_q^n → F_q）的矩阵是否足够刚性以支持 Valiant 的算术电路下界程序。
• 将 Alman 与 Williams 在 Hadamard 矩阵上的非刚性结果推广至有限域上更广泛的结构化矩阵类。
• 通过分析多项式类矩阵的秩结构，探讨预处理技术在电路复杂性中的局限性。
• 确定在有限域上观察到的非刚性现象是否也适用于映射到有理数或复数的函数。

提出的方法

• 利用 Croot-Lev-Pach (CLP) 引理，对低次多项式 P 的矩阵 M(x,y) = P(x+y) 的秩进行上界估计。
• 应用多项式逼近论证：任意函数 f 均可由次数 ≤(1−δ)(q−1)n 的多项式 P 近似，且在所有输入中仅在至多 N^ε 个位置上与 f 不同。
• 利用次数 ≤⌊d/2⌋ 的单项式数量以 q^{(1−ε')n} 的速率增长的事实，其中 d = (1−δ)(q−1)n，从而实现低秩逼近。
• 使用向量空间论证，表明任意函数最多可通过修改 N^ε 个位置来匹配一个低次多项式。
• 应用 Chernoff-Hoeffding 不等式估计低次单项式集合的大小，表明其远小于整个空间。
• 结合逼近与秩的上界，证明原始矩阵 M 与低秩矩阵 L 的差异条目数至多为 N^{1+ε}。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 f: F_q^n → F_q，形式为 M(x,y) = f(x+y) 的矩阵能否通过 Valiant 的刚性程序证明强算术电路下界？
• RQ2 Hadamard 矩阵的非刚性是否为有限域上结构化矩阵中更广泛现象的一个特例？
• RQ3 在秩与汉明距离的意义下，有限域上任意函数在多大程度上可被低次多项式逼近？
• RQ4 该非刚性结果是否可推广至有理数或复数域上的矩阵，如同 Hadamard 矩阵的情形？
• RQ5 Croot-Lev-Pach 引理能否系统性地用于边界化 f(x+y) 之外的结构化矩阵的刚性？

主要发现

• 对任意函数 f: F_q^n → F_q，矩阵 M(x,y) = f(x+y) 满足 RF_q^M(N^{1−ε′}) ≤ N^{1+ε}，对任意 ε > 0 及充分大的 n 成立。
• 近似矩阵 L(x,y) = P(x+y)（其中 P 为低次多项式）的秩至多为 m_{⌊d/2⌋}(q,n)，该值对某个 ε′ > 0 有界于 N^{1−ε′}。
• f 与 P 不同的输入数量至多为 N^ε，因此 M 与 L 的差异条目数至多为 N^{1+ε}。
• 该结果对固定的 q 和 ε 成立，其中 ε′ 依赖于 δ，而 δ 又依赖于 q 和 ε。
• 非刚性结果是 CLP 引理与低次单项式在多项式空间中集中现象的直接结果。
• 本文表明，f(x+y) 类矩阵的刚性不足以支持 Valiant 的程序，即使在有限域上，暗示基于预处理的电路下界方法存在固有局限性。