[论文解读] Limits of Projective Manifolds Under Holomorphic Deformations

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2009

Geometry and complex manifolds被引用 15

一句话总结

本文证明，在一个复解析族的紧致复流形中，若除一个纤维外其余所有纤维均为射影的，则极限纤维必为Moishezon流形。作者利用奇异Morse不等式与Kähler形式的弱紧致性，构造了极限纤维上属于整同调类的Kähler当前，从而通过已知准则将其刻画为Moishezon流形。

ABSTRACT

We prove that if in a complex analytic family of compact complex manifolds all the fibres, except one, are supposed to be projective, then the remaining (limit) fibre must be Moishezon. The proof is based on the so-called singular Morse inequalities for integral cohomology classes that we obtained in a previous work. The strategy, originating in the work of J.-P. Demailly, consists in using the Aubin-Calabi-Yau theorem to construct K\ahler forms on non-limit fibres in a certain integral De Rham cohomology 2-class and in showing that this family of forms is bounded in mass in a suitable sense. By weak compactness, a subsequence of K\ahler forms converges weakly to a $(1, 1)$-current that may have wild singularities and is defined on the limit fibre. The singular Morse inequalities are then used on the limit fibre to produce a K\ahler current in the same integral cohomology class. The existence of a K\ahler current with integral cohomology class is known to characterise Moishezon manifolds.

研究动机与目标

• 建立全纯族中除一个纤维外其余均为射影的极限纤维的Moishezon性质。
• 拓展对射影流形与Moishezon流形在全纯形变下行为的理解。
• 将奇异Morse不等式应用于Kähler流形退化情形下的整同调类。
• 证明在整(1,1)-同调类中存在Kähler当前可刻画Moishezon流形，从而在该设定下确认其特征。

提出的方法

• 利用Aubin-Calabi-Yau定理，在固定整De Rham同调类中构造非极限纤维上的Kähler形式。
• 建立这些Kähler形式质量的统一有界性，以确保弱紧致性。
• 应用弱紧致性，提取Kähler形式的子列，使其弱收敛于极限纤维上的(1,1)-当前，其奇异性可能较剧烈。
• 对极限当前应用奇异Morse不等式，推导出极限纤维上存在属于该同调类的Kähler当前。
• 利用已知准则：若紧致复流形在整同调类中存在Kähler当前，则其为Moishezon流形。
• 借助解析族的结构与上同调控制，确保极限当前位于正确的整同调类中。

实验结果

研究问题

• RQ1 若全纯族中除一个纤维外其余均为射影的，则极限纤维是否仍为Moishezon流形？
• RQ2 奇异Morse不等式能否在退化情形下有效应用于整同调类？
• RQ3 在整(1,1)-同调类中存在Kähler当前是否足以推出该紧致复流形为Moishezon流形？
• RQ4 如何利用Kähler形式的弱紧致性，从非奇异纤维过渡到上同调构造中的奇异极限纤维？
• RQ5 Aubin-Calabi-Yau定理在构造具有受控上同调的非极限纤维上的Kähler形式中起到何种作用？

主要发现

• 在大多数纤维为射影的全纯族中，极限纤维必为Moishezon流形。
• 极限纤维上存在属于与非极限纤维上Kähler形式相同整同调类的Kähler当前。
• 非极限纤维上Kähler形式的弱极限在极限纤维上给出一个质量与奇异性受控的(1,1)-当前。
• 对这一极限当前应用奇异Morse不等式，可推出在整同调类中存在Kähler当前。
• 结果确认了在该退化设定下，整(1,1)-同调类中存在Kähler当前可刻画Moishezon流形。
• 该方法通过复几何中的解析技术，在射影几何与Moishezon几何之间建立了桥梁。