[论文解读] Limits of quantum speed-ups for computational geometry and other problems: Fine-grained complexity via quantum walks

Harry Buhrman, Bruno Loff+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过引入基于量子行走和无历史依赖数据结构的新型量子归约框架，为若干计算几何与代数问题建立了紧致的量子时间下界。在量子-3SUM-猜想的假设下，证明了对于3SUM、卷积-3SUM、0-边权三角形以及多种几何问题，不存在亚线性量子加速的可能，其结果与已知的量子上界完全匹配，确立了在细粒度复杂性中量子加速的根本极限。

ABSTRACT

Many computational problems are subject to a quantum speed-up: one might find that a problem having an O(n^3)-time or O(n^2)-time classic algorithm can be solved by a known O(n^1.5)-time or O(n)-time quantum algorithm. The question naturally arises: how much quantum speed-up is possible? The area of fine-grained complexity allows us to prove optimal lower-bounds on the complexity of various computational problems, based on the conjectured hardness of certain natural, well-studied problems. This theory has recently been extended to the quantum setting, in two independent papers by Buhrman, Patro, and Speelman (arXiv:1911.05686), and by Aaronson, Chia, Lin, Wang, and Zhang (arXiv:1911.01973). In this paper, we further extend the theory of fine-grained complexity to the quantum setting. A fundamental conjecture in the classical setting states that the 3SUM problem cannot be solved by (classical) algorithms in time O(n^{2-a}), for any a>0. We formulate an analogous conjecture, the Quantum-3SUM-Conjecture, which states that there exist no sublinear O(n^{1-b})-time quantum algorithms for the 3SUM problem. Based on the Quantum-3SUM-Conjecture, we show new lower-bounds on the time complexity of quantum algorithms for several computational problems. Most of our lower-bounds are optimal, in that they match known upper-bounds, and hence they imply tight limits on the quantum speedup that is possible for these problems.

研究动机与目标

• 为计算几何与代数计算中的问题建立条件性量子时间下界。
• 通过将经典归约扩展至量子设置，探究细粒度复杂性中量子加速的根本极限。
• 解决关于3SUM及其相关问题是否存在亚线性量子算法的开放问题。
• 开发一种新型量子归约技术，以克服经典预处理（如排序）在亚线性量子时间内无法完成的瓶颈。

提出的方法

• 提出量子-3SUM-猜想：不存在时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{1-\varepsilon})$ 的亚线性时间量子算法求解3SUM。
• 将经典细粒度归约从3SUM推广至量子算法，利用结构化数据上的量子行走实现。
• 采用混合方法，结合量子行走与具备‘无历史依赖性’的古典动态数据结构，以避免预处理瓶颈。
• 使用Grover搜索与振幅放大技术，模拟量子行走框架中图与数组问题的局部查询。
• 将卷积-3SUM与0-边权三角形问题归约为3SUM，同时保持时间复杂度界限。
• 证明：若存在时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{1.5-\varepsilon}))$ 的量子算法求解0-边权三角形问题，则意味着存在亚线性时间量子算法求解3SUM，与猜想矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子-3SUM-猜想的假设下，3SUM及其相关问题是否存在亚线性量子加速？
• RQ2 在计算几何问题（如最近点对与三色最近点对）中，3SUM的紧致量子时间下界是什么？
• RQ3 当经典预处理（如排序）无法在亚线性量子时间内完成时，如何将经典细粒度归约适配至量子设置？
• RQ4 能否将量子行走与经典数据结构结合，以实现不违反时间复杂度约束的量子归约？
• RQ5 在量子-3SUM-猜想下，卷积-3SUM与0-边权三角形问题的量子加速极限是什么？

主要发现

• 本文在量子-3SUM-猜想的假设下，证明了0-边权三角形问题的条件性量子 $\Omega(n^{1.5})$ 时间下界。
• 证明了卷积-3SUM的条件性线性量子时间下界，与目前已知的最佳量子上界完全匹配。
• 在量子-3SUM-猜想下，为包括最近点对与双色最近点对在内的多个计算几何问题建立了紧致的量子时间下界。
• 作者表明：若存在时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{1.5-\varepsilon}))$ 的量子算法求解0-边权三角形问题，则意味着存在亚线性时间量子算法求解3SUM，与猜想矛盾。
• 采用无历史依赖数据结构的混合量子-经典归约框架，使得在经典预处理会阻碍亚线性加速的情况下，仍能实现有效的量子归约。
• 结果表明：在量子-3SUM-猜想下，3SUM、卷积-3SUM与0-边权三角形等问题的已知量子上界均为最优。