[论文解读] Limsup behaviors of multi-dimensional selfsimilar processes with independent increments

Toshiro Watanabe, Kouji Yamamuro|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 5

一句话总结

本论文为具有独立增量的多维自相似过程建立了迭代对数律的 '上极限' 类型定律，证明了当 t → ∞ 时，|X(t)|/(t^H g(|log t|)) 的渐近行为几乎必然收敛于一个常数 C ∈ [0, ∞]，并给出了 C = 1 的必要与充分条件。该研究通过函数 g(t) 对 t → ∞ 和 t → 0 时此类过程的增长速率进行了分类，并利用自可分与无穷可分分布的性质，显式确定了各种情形下的常数 C。

ABSTRACT

Laws of the iterated logarithm of "limsup" type are studied for multi-dimensional selfsimilar processes $\{X(t)\}$ with independent increments having exponent $H$. It is proved that, for any positive increasing function $g(t)$ with $\displaystyle \lim_{t o\infty}g(t) = \infty$, there is $C\in [0,\infty]$ such that $\limsup|X(t)|/(t^Hg(|\log t|))= C$ a.s. as $t o\infty $, in addition, as $t o 0$. A necessary and sufficient condition for the existence of $g(t)$ with C=1 is obtained. In the case where $g(t)$ with C=1 does not exist, a criterion to classify functions $g(t)$ according to C=0 or $C=\infty$ is given. Moreover, various "limsup" type laws with identification of the positive constants $C$ are explicitly presented in several propositions and examples. The problems that exchange the roles of $\{X(t)\}$ and $g(t)$ are also discussed.

研究动机与目标

• 研究多维自相似过程在时间 t → ∞ 和 t → 0 时的渐近行为。
• 刻画一般正递增函数 g(t)（满足 lim_{t→∞} g(t) = ∞）下 |X(t)|/(t^H g(|log t|)) 的上极限行为。
• 建立存在 g(t) 使得上极限常数 C = 1 的必要与充分条件。
• 当 C = 1 不可实现时，将函数 g(t) 分类为导致 C = 0 或 C = ∞ 的情形。
• 提供显式判别准则与实例，以识别上极限中正的常数 C。

提出的方法

• 利用自相似过程（Sato 过程）的特征：在时间 1 处的边际分布为自可分分布，且自相似指数 H > 0。
• 应用无穷可分性理论与 Lévy-Khintchine 表示式，重点关注自可分分布的尾部行为。
• 利用支配变体、次乘性与 O-次指数性等概念，分析 Lévy 测度及其卷积幂的增长。
• 通过复合泊松近似，建立 Lévy 测度尾部与过程分布尾部之间的渐近等价性。
• 通过分析归一化尾部概率的下极限与上极限行为，推导出 C = 1 的必要与充分条件。
• 应用 Watanabe (2008) 与 Shimura & Watanabe (2005) 的结果，证明关于 O-次指数类与尾部等价性的主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有独立增量的自相似过程，|X(t)|/(t^H g(|log t|)) 在 t → ∞ 和 t → 0 时的几乎必然渐近行为是什么？
• RQ2 对于满足 lim_{t→∞} g(t) = ∞ 的正递增函数 g(t)，哪些函数使得上极限常数 C 等于 1？
• RQ3 当不存在使 C = 1 的 g(t) 时，哪些条件可将 g(t) 分类为导致 C = 0 或 C = ∞ 的情形？
• RQ4 如何显式识别特定自相似过程类中上极限常数 C？
• RQ5 自可分与无穷可分分布的尾部性质在决定过程增长率方面起什么作用？

主要发现

• 对于任意满足 lim_{t→∞} g(t) = ∞ 的正递增函数 g(t)，当 t → ∞ 时，|X(t)|/(t^H g(|log t|)) 的上极限几乎必然收敛于常数 C ∈ [0, ∞]。
• 基于 Lévy 测度的尾部行为与边际分布的自可分性，推导出存在 g(t) 使得 C = 1 的必要与充分条件。
• 当不存在使 C = 1 的 g(t) 时，论文提供了基于 Lévy 测度尾部增长速率的判别准则，将 g(t) 分类为导致 C = 0 或 C = ∞ 的情形。
• 在多个例子中推导出了常数 C 的显式公式，包括稳定过程与复合泊松过程的情形。
• 论文证明了 ρ ∈ O(S)（O-次指数性）当且仅当存在 n ∈ ℕ，使得 Lévy 测度尾部的 n 重卷积也属于 O-次指数类，从而将尾部行为与上极限常数联系起来。
• 通过复合泊松近似与尾部等价性，论文证明了过程分布的尾部与复合泊松分布的尾部渐近等价，从而实现了对常数 C 的显式识别。