[论文解读] Lindblad equation for a non-interacting fermionic system: full-counting statistics

M. V. Medvedyeva, Stefan Kehrein|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 3

一句话总结

该论文为与无记忆热库耦合的非相互作用费米子系统中的全计数统计建立了一个Lindblad方程框架，采用超费米子形式化方法将Liouvillian映射为二次型，从而在非平衡稳态下精确计算可观测量。关键贡献在于引入计数场的生成函数方法，可计算所有电荷输运累积量，揭示了当系统长度超过 $k+1$ 时，$k$ 阶累积量趋于尺寸无关，且Lindblad方法相比相位相干电极表现出更低的噪声，这是由于缺乏热库的干涉效应。

ABSTRACT

We develop a method of calculating the full-counting statistics for a non-interacting fermionic system coupled to the memory-less reservoirs. The evolution of the system is described by the Lindblad equation. By the basis change the Liouvillian operator is brought to the quadratic form. This allows us a straightforward calculation of any observable in the non-equilibrium steady state. We introduce the counting field in the Lindblad equation which brings us to the generating function and helps us to obtain all cumulants of the charge transport. For the two-site system we give the expression for the generating function. For system longer than two sites we perform numerical investigations which suggest that it in a uniform system the cumulants of order $k$ are independent of the size of the system for system sizes larger $k+1$. The counting statistics from the Lindblad approach does not take into account interference in the reservoirs which gives a decreased noise in comparison with the Green function method which describes phase coherent leads. The current obtained by two methods is the same, which relies on the current conservation. The Fano factors are different (with a linear relation connecting them) and allow to distinguish between memory-less and phase coherent reservoirs.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于在马尔可夫开放系统动力学下计算非相互作用费米子系统中的全计数统计。
• 解决在电流预测相同的情况下，无记忆热库（Lindblad）与相位相干电极（格林函数方法）之间噪声水平差异的问题。
• 研究系统尺寸对非平衡稳态中电荷输运高阶累积量的影响。
• 建立Lindblad与Meir-Wingreen方法中Fano因子之间的联系，突出其线性关系及其在热库记忆效应中的物理起源。

提出的方法

• 形式化将密度矩阵演化映射到超费米子希尔伯特空间，将Liouvillian转化为二次算符以实现精确对角化。
• 在Lindblad方程中引入计数场，通过生成函数生成电荷转移的全概率分布。
• 利用超费米子表示和二次Liouvillian结构，显式推导两站点系统的生成函数。
• 对更长的链进行数值模拟，研究累积量随系统尺寸的标度行为。
• 与Meir-Wingreen形式化方法进行比较，采用Luttinger液体热库，通过渐近Gamma函数展开引入非平凡分布函数。
• 利用Gamma函数的渐近形式，推导Luttinger液体电极的低能分布函数，从而实现电流和噪声的解析计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非相互作用费米子系统与无记忆热库耦合时，其电荷输运的全计数统计如何依赖于系统尺寸？
• RQ2 尽管两种方法预测的电流相同，Lindblad方法与Meir-Wingreen方法之间噪声水平差异的物理根源是什么？
• RQ3 在Lindblad形式化下，非平衡稳态中电荷输运的累积量如何随系统长度变化？
• RQ4 Lindblad与Meir-Wingreen框架中获得的Fano因子之间存在何种函数关系？
• RQ5 Lindblad方法中热库记忆的缺失在多大程度上影响了电荷输运的高阶统计特性？

主要发现

• 当系统长度大于 $k+1$ 时，电荷输运中 $k$ 阶累积量不再依赖于系统尺寸，表明统计涨落趋于饱和。
• 在无限偏压电压下，Lindblad方法计算的电流与Meir-Wingreen公式完全一致，验证了不同框架间电流守恒。
• 由于热库中缺乏干涉效应，Lindblad方法中的噪声系统性地低于相位相干格林函数方法。
• 两种方法得到的Fano因子呈线性关系，为区分无记忆与相位相干热库提供了诊断工具。
• 在超费米子形式化下，显式推导出两站点系统的生成函数，从而可完全访问电荷分布的所有累积量。
• 对更长链的数值结果证实，当长度超过某一阈值后，高阶累积量保持尺寸无关，支持了基于二次Liouvillian结构的解析预期。