[论文解读] Line bundles on rigid spaces in the $v$-topology

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文建立了一条 Hodge–Tate 对数序列，用于描述在特征零的完美oid域上光滑刚性空间的解析 Picard 群与 $v$-Picard 群之间的差异。它表明，在拟紧或一维的刚性空间上，$v$-线丛由该序列通过闭微分形式控制；对于仿射空间 $\mathbb{A}^n$，Hodge–Tate 对数的像恰好由闭 1-形式构成，从而将 $v$-线丛与在分裂意义下的 Higgs 线丛联系起来。

ABSTRACT

For a smooth rigid space $X$ over a perfectoid field extension $K$ of $\mathbb Q_p$, we investigate how the $v$-Picard group of the associated diamond $X^\diamondsuit$ differs from the analytic Picard group of $X$. To this end, we construct a left-exact "Hodge--Tate logarithm" sequence \[0 o \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) o \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) o H^0(X,Ω_X^1)\{-1\}.\] We deduce some analyticity criteria which have applications to $p$-adic modular forms. For algebraically closed $K$, we show that the sequence is also right-exact if $X$ is proper or one-dimensional. In contrast, we show that for the affine space $\mathbb A^n$, the image of the Hodge--Tate logarithm consists precisely of the closed differentials. It follows that up to a splitting, $v$-line bundles may be interpreted as Higgs bundles. For proper $X$, we use this to construct the $p$-adic Simpson correspondence of rank one.

研究动机与目标

• 理解在完美oid域上光滑刚性空间的解析 Picard 群与 $v$-Picard 群之间的差异。
• 构造一条关联 $\mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X)$、$\mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit)$ 与 $H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$ 的 Hodge–Tate 对数序列。
• 确定该序列在何种情况下是右正合的，特别是对拟紧或一维的刚性空间。
• 将结果应用于 $p$-进模形式，并在秩一情形下构造 $p$-进 Simpson 对应。

提出的方法

• 构造一条左正合的 Hodge–Tate 对数序列：$0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$。
• 利用 $p$-进对数定义从 $v$-线丛到扭曲的 1-形式层的态射。
• 通过上同调技巧和对球体 $B_s$ 的极限，证明在拟紧或一维刚性空间上序列的右正合性。
• 通过限制到 $B_s \times \mathbb{A}$ 分析 $\mathbb{A}^n$ 的情形，证明对数的像落在闭微分形式中。
• 利用 de Rham 复形以及 $\mathcal{O}(\mathbb{A}^n)$ 上微分的正合性，证明只有闭形式属于像。
• 通过拉回与嵌入将高维情形约化至 $n=2$ 的情形，当 $df \neq 0$ 时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 刚性空间的 $v$-Picard 群与解析 Picard 群有何不同？
• RQ2 在拟紧或一维刚性空间上，Hodge–Tate 对数序列是否右正合？
• RQ3 $\mathbb{A}^n$ 上 Hodge–Tate 对数的像为何？
• RQ4 在 $p$-进设定下，$v$-线丛能否被解释为 Higgs 线丛？
• RQ5 从对数序列可导出何种解析性准则，以应用于 $p$-进模形式？

主要发现

• 对于完美oid域 $K$ 上的光滑刚性空间 $X$，存在一条左正合的 Hodge–Tate 对数序列：$0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$。
• 当 $K$ 代数闭时，若 $X$ 拟紧或一维且仿紧，则序列右正合。
• 当 $X = \mathbb{A}^n$ 时，Hodge–Tate 对数的像恰好是闭 1-形式的空间，即 $\mathrm{im}(\mathrm{HT}\log) = H^0(\mathbb{A}^n, \widetilde{\Omega}^1)^{d=0}$。
• $\mathbb{A}^n$ 上的 $v$-线丛同构于闭 1-形式模去恰当形式的群，至多在分裂意义下。
• 通过该 Hodge–Tate 序列，为拟紧 $X$ 构造了秩一的 $p$-进 Simpson 对应。
• 利用一个准则（即：若 $v$-线丛在 Zariski 稠密开集上的限制是解析的，则该线丛是解析的），证明了过收敛模形式的层是解析的。